¿Qué es la derivada?
La derivada de una función mide cómo cambia la función en cada punto. En términos gráficos, es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
Piénsalo con un ejemplo cotidiano: si $s(t)$ es la posición de un coche en el instante $t$, la derivada $s'(t)$ es su velocidad en ese instante.
La derivada de $f(x)$ se escribe $f'(x)$ (se lee "efe prima de x").
Reglas básicas de derivación
| Función | Derivada | Ejemplo |
|---|---|---|
| Constante: $k$ | $0$ | $(7)' = 0$ |
| Potencia: $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ | $(x^3)' = 3x^2$ |
| Constante por función: $k \cdot f(x)$ | $k \cdot f'(x)$ | $(5x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$ |
| Suma: $f(x) + g(x)$ | $f'(x) + g'(x)$ | $(x^2 + x)' = 2x + 1$ |
Fíjate en el patrón de la potencia: el exponente baja multiplicando y se reduce en 1.
Ejemplos resueltos
derivar una potencia
Calcular la derivada de $f(x) = 3x^2$:
1. Baja el exponente: $2 \cdot 3x^{2-1}$. 2. Resultado: $f'(x) = 6x$.
En $x = 1$, la pendiente de la recta tangente es $f'(1) = 6 \cdot 1 = 6$.
derivar una suma
Calcular la derivada de $f(x) = x^3 + 2x$:
1. Derivamos cada término por separado: $(x^3)' = 3x^2$ y $(2x)' = 2$. 2. Resultado: $f'(x) = 3x^2 + 2$.
En $x = 1$: $f'(1) = 3 + 2 = 5$.
velocidad como derivada
La posición de un móvil es $s(t) = t^2$ (metros, con $t$ en segundos). La velocidad es la derivada:
$v(t) = s'(t) = 2t$
En $t = 2$ s, la velocidad es $v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ m/s.
Tabla rápida de derivadas
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $5$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^2$ | $2x$ |
| $x^3$ | $3x^2$ |
| $4x$ | $4$ |
| $2x^3$ | $6x^2$ |
Errores comunes
- ❌ Derivar una constante y que no sea 0: la derivada de cualquier número es 0.
- ❌ Olvidar restar 1 al exponente: $(x^3)' = 3x^2$, no $3x^3$.
- ❌ Confundir la derivada de $x^2$ ($2x$) con la de $2x$ ($2$).