Problemas de derivadas

¿Para qué sirven las derivadas en la vida real?

La derivada mide la velocidad de cambio de una magnitud. Por eso aparece en multitud de situaciones:

Situación	Magnitud que se deriva	Lo que da la derivada
Movimiento	Posición $s(t)$	Velocidad $v(t) = s'(t)$
Movimiento	Velocidad $v(t)$	Aceleración $a(t) = v'(t)$
Economía	Coste $C(x)$	Coste marginal $C'(x)$
Crecimiento	Población $P(t)$	Tasa de crecimiento $P'(t)$

Problema 1: velocidad y aceleración

Un móvil se mueve según $s(t) = t^2 + 3t$ (metros, $t$ en segundos). Halla la velocidad en $t = 4$ s.

1. Derivamos la posición: $v(t) = s'(t) = 2t + 3$. 2. Sustituimos $t = 4$: $v(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$ m/s.

La aceleración sería la derivada de la velocidad: $a(t) = v'(t) = 2$ m/s², que es constante.

Problema 2: coste marginal

El coste marginal $C'(x)$ es lo que cuesta aproximadamente producir una unidad más cuando ya se producen $x$ unidades.

El coste de producir $x$ unidades es $C(x) = x^2 + 10x + 100$ €. ¿Cuál es el coste marginal en $x = 20$?

1. Derivamos: $C'(x) = 2x + 10$. 2. Sustituimos $x = 20$: $C'(20) = 2 \cdot 20 + 10 = 50$ €.

Interpretación: producir la unidad número 21 cuesta aproximadamente 50 €.

Problema 3: crecimiento y decrecimiento

El signo de la derivada indica si la función sube o baja:

Signo de $f'(x)$	La función...
$f'(x) > 0$	Es creciente (sube)
$f'(x) < 0$	Es decreciente (baja)
$f'(x) = 0$	Tiene un punto con pendiente horizontal

¿Dónde es creciente $f(x) = -x^2 + 4x$?

1. Derivamos: $f'(x) = -2x + 4$. 2. Resolvemos $f'(x) > 0$: $-2x + 4 > 0$ → $-2x > -4$ → $x < 2$.

La función es creciente para $x < 2$ y decreciente para $x > 2$. En $x = 2$ tiene su punto más alto.

Errores comunes

❌ Confundir posición con velocidad: la velocidad es la derivada de la posición, no la posición.
❌ Olvidar las unidades: si la posición está en metros y el tiempo en segundos, la velocidad va en m/s.
❌ Interpretar mal el signo: derivada positiva no significa "valor grande", sino "función que sube".

1. Un móvil se mueve según $s(t) = t^2 + 3t$. ¿Cuál es su velocidad en $t = 4$ s? (1 puntos)

$8$ m/s $11$ m/s $19$ m/s $35$ m/s

Retroalimentación: $v(t) = s'(t) = 2t + 3$. En $t = 4$: $v(4) = 8 + 3 = 11$ m/s.

2. Si la posición de un móvil es $s(t) = 5t^2$, ¿cuánto vale $v(3)$? (1 puntos)

Retroalimentación: $v(t) = s'(t) = 10t$. En $t = 3$: $v(3) = 30$ m/s.

3. Si $C'(20) = 50$ para una función de coste, ¿qué significa? (1 puntos)

Producir 20 unidades cuesta 50 € Producir la unidad 21 cuesta aproximadamente 50 € El coste total es 50 € La empresa produce 50 unidades

Retroalimentación: El coste marginal $C'(x)$ indica el coste aproximado de producir una unidad adicional cuando ya se producen $x$.

4. Si $f'(x) > 0$ en un intervalo, la función es... (1 puntos)

Creciente Decreciente Constante Cóncava

Retroalimentación: Cuando la derivada es positiva, la pendiente de la recta tangente es positiva y la función sube: es creciente.

5. La posición de un móvil es $s(t) = t^2 + 2t$. (3 puntos)

a ) ¿Cuánto vale la velocidad en $t = 1$ s?

b ) Si $s(t) = 6t$, ¿cuánto vale la velocidad (que es constante)?

c ) En ese caso ($s(t) = 6t$), ¿es la aceleración 0? Responde sí o no.

Retroalimentación: La velocidad es la derivada de la posición y la aceleración la derivada de la velocidad.

6. La aceleración es la derivada de... (1 puntos)

La posición La velocidad El tiempo La distancia recorrida

Retroalimentación: La aceleración mide cómo cambia la velocidad, así que $a(t) = v'(t)$.

7. El coste de producir $x$ unidades es $C(x) = x^2 + 10x + 100$ €. ¿Cuánto vale el coste marginal en $x = 20$? (1 puntos)

Retroalimentación: $C'(x) = 2x + 10$; en $x = 20$: $C'(20) = 40 + 10 = 50$ €.

8. La función $f(x) = -x^2 + 4x$ es creciente cuando... (1 puntos)

$x < 2$ $x > 2$ $x < 4$ Siempre

Retroalimentación: $f'(x) = -2x + 4$. La función crece cuando $f'(x) > 0$: $-2x + 4 > 0$ → $x < 2$.