Estudio de funciones

Estudiar una función es analizar su gráfica para responder preguntas: ¿para qué valores de $x$ está definida? ¿Cuándo crece? ¿Cuándo alcanza su valor máximo? Es una habilidad muy útil para interpretar datos reales.

Dominio y recorrido

  • Dominio: valores de $x$ para los que la función está definida.
  • Recorrido (o imagen): valores que toma $y$.
Temperatura durante un día

La gráfica de la temperatura a lo largo de 24 horas:

  • Dominio: $x \in [0, 24]$ (las horas del día).
  • Recorrido: por ejemplo, entre $5^\circ$ y $18^\circ$ (la temperatura nunca baja de 5 ni supera 18).

Puntos de corte con los ejes

  • Corte con el eje Y: donde la gráfica toca el eje vertical, es decir, cuando $x = 0$. Se calcula $f(0)$.
  • Cortes con el eje X (ceros o raíces): donde la gráfica toca el eje horizontal, es decir, cuando $y = 0$. Se resuelve $f(x) = 0$.
$y = x^2 - 4$
  • Corte con el eje Y: $f(0) = 0^2 - 4 = -4$ → punto (0, -4).
  • Cortes con el eje X: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ → puntos (-2, 0) y (2, 0).

Crecimiento y decrecimiento

  • La función es creciente en un intervalo si, al aumentar $x$, aumenta $y$.
  • Es decreciente si, al aumentar $x$, disminuye $y$.
  • Es constante si $y$ no cambia.

Máximos y mínimos

  • Máximo relativo: punto donde la función pasa de crecer a decrecer (la "cima").
  • Mínimo relativo: punto donde pasa de decrecer a crecer (el "valle").
Parábola $y = x^2 - 4$

La gráfica es una parábola con las ramas hacia arriba:

  • Decrece en $(-\infty, 0)$.
  • Crece en $(0, +\infty)$.
  • Tiene un mínimo en $x = 0$, con valor $y = -4$: el punto (0, -4).
  • No tiene máximo: las ramas suben sin límite.

Guía para estudiar una función desde su gráfica

1. Mirar el dominio: hasta dónde llega la gráfica en horizontal. 2. Mirar el recorrido: hasta dónde llega en vertical. 3. Señalar los cortes con los ejes. 4. Dividir el eje X en intervalos de crecimiento y decrecimiento. 5. Localizar máximos y mínimos.

Aplicación: interpretar un gráfico

Distancia recorrida por un ciclista

Un ciclista sale de casa, pedalea 30 minutos, descansa 10 minutos y vuelve:

  • De 0 a 30 min: la distancia crece (se aleja).
  • De 30 a 40 min: la distancia no cambia (está parado: función constante).
  • De 40 a 60 min: la distancia decrece (vuelve a casa).

Errores comunes

  • Confundir dominio (eje X) con recorrido (eje Y).
  • Decir "la función crece" sin indicar en qué intervalo de $x$.
  • Confundir un máximo con el punto de corte con el eje Y.
  • Olvidar que un mínimo relativo no tiene por qué ser el valor más pequeño de toda la función.

1. ¿Qué es el dominio de una función? (1 puntos)

2. Dada la función $y = 2x - 6$, ¿en qué punto corta el eje X? Escribe solo el valor de $x$. (1 puntos)

3. Si al aumentar $x$ la función pasa de $y = 2$ a $y = 5$, la función es... (1 puntos)

4. Estudiamos la función $y = x^2 - 1$. Calcula: (1 puntos)

a ) a) ¿Cuál es el corte con el eje Y? Escribe el valor de $y$.

b ) b) ¿Cuáles son los cortes con el eje X? Escribe el valor positivo de $x$.

5. En un punto donde la función pasa de crecer a decrecer tenemos un... (1 puntos)

6. Una fábrica produce piezas: el beneficio es $B(x) = -x^2 + 10x - 16$ miles de euros, donde $x$ son miles de piezas. ¿Para qué valor de $x$ (miles de piezas) se alcanza el beneficio máximo? (1 puntos)