Funciones lineales y afines
Una función lineal tiene la forma:
Su gráfica es una recta que pasa por el origen (0, 0). La constante $m$ es la pendiente: indica cuánto aumenta $y$ cuando $x$ aumenta 1 unidad.
Una función afín tiene la forma:
Su gráfica también es una recta, pero corta el eje vertical en el punto (0, $n$). El número $n$ es la ordenada en el origen.
La pendiente $m$
La pendiente mide la inclinación de la recta:
| Pendiente | Recta |
|---|---|
| $m > 0$ | Creciente (sube hacia la derecha) |
| $m < 0$ | Decreciente (baja hacia la derecha) |
| $m = 0$ | Horizontal |
| $m$ muy grande | Muy inclinada |
Cómo representar una recta
1. Hacer una tabla con dos o tres valores de $x$. 2. Dibujar los puntos en los ejes. 3. Unirlos con una regla: la recta se prolonga en ambos sentidos.
Representar $y = 2x + 1$
| $x$ | $y = 2x + 1$ | Punto |
|---|---|---|
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 3 | (1, 3) |
| 2 | 5 | (2, 5) |
Con los puntos (0, 1) y (1, 3) ya podemos dibujar la recta. La pendiente es 2 (por cada 1 que avanza $x$, $y$ sube 2) y corta el eje $y$ en 1.
Punto de corte con el eje X
La recta corta el eje $X$ donde $y = 0$:
¿Dónde corta el eje X la recta $y = 2x - 6$?
La recta corta el eje $X$ en el punto (3, 0) y el eje $Y$ en (0, -6).
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por ejemplo, $y = 3x + 1$ e $y = 3x - 4$ son paralelas.
Aplicaciones prácticas
- Proporcionalidad: si un kilo de naranjas cuesta 2 €, $y = 2x$ (función lineal).
- Tarifa plana: un gimnasio cobra 20 € al mes más 3 € por clase: $y = 3x + 20$ (función afín).
- Movimiento: a velocidad constante $v$, la distancia es $d = v \cdot t$.
Un taxi cobra 2,5 € de bajada de bandera y 0,9 € por kilómetro
La función es $y = 0{,}9x + 2{,}5$.
- Por 10 km: $y = 0{,}9 \cdot 10 + 2{,}5 = 9 + 2{,}5 = 11{,}5$ €.
- Por 20 km: $y = 0{,}9 \cdot 20 + 2{,}5 = 18 + 2{,}5 = 20{,}5$ €.
Errores comunes
- Confundir pendiente con ordenada en el origen.
- Pensar que toda recta pasa por el origen: solo las funciones lineales ($n = 0$).
- Dividir mal los signos al calcular la pendiente con puntos.
- Olvidar que $y = 4$ es una recta horizontal y $x = 3$ una vertical.