El Plano Cartesiano
El plano cartesiano sirve para situar puntos usando dos rectas numéricas perpendiculares:
- El eje horizontal (eje $X$ o de abscisas).
- El eje vertical (eje $Y$ o de ordenadas).
- El punto donde se cortan es el origen, con coordenadas $O(0, 0)$.
Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes:
| Cuadrante | Signo de $x$ | Signo de $y$ |
|---|---|---|
| I | $+$ | $+$ |
| II | $-$ | $+$ |
| III | $-$ | $-$ |
| IV | $+$ | $-$ |
Coordenadas de un punto
Un punto se escribe $P(x, y)$: el primer número es la abscisa (movimiento horizontal) y el segundo la ordenada (movimiento vertical).
localizar los puntos $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$, $C(-3, -2)$ y $D(4, -1)$
- $A(2, 3)$: dos unidades a la derecha y tres hacia arriba → cuadrante I.
- $B(-1, 4)$: una unidad a la izquierda y cuatro hacia arriba → cuadrante II.
- $C(-3, -2)$: tres a la izquierda y dos hacia abajo → cuadrante III.
- $D(4, -1)$: cuatro a la derecha y una hacia abajo → cuadrante IV.
Puntos sobre los ejes:
- Si $y = 0$, el punto está sobre el eje $X$: por ejemplo $(3, 0)$.
- Si $x = 0$, el punto está sobre el eje $Y$: por ejemplo $(0, -2)$.
Distancia entre dos puntos
La distancia entre $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ se calcula con la fórmula:
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
distancia entre $A(1, 1)$ y $B(4, 5)$
$$
d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
La distancia entre los dos puntos es de 5 unidades.
Punto medio de un segmento
El punto medio $M$ entre $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ es:
$$
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$
punto medio del segmento entre $(2, 4)$ y $(6, 8)$
$$
M = \left( \frac{2 + 6}{2}, \; \frac{4 + 8}{2} \right) = (4, 6)
$$
Aplicaciones
El sistema de coordenadas se usa en mapas (GPS), planos de ciudades, gráficas de funciones, tablas de precios y en dibujo técnico. Saber leer coordenadas te permite indicar con exactitud dónde está cualquier punto.