¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos (o más) ecuaciones con dos incógnitas. Su solución es el par de valores $(x, y)$ que cumple las dos ecuaciones a la vez.
La solución de este sistema es $x = 3$, $y = 2$, porque:
- $3 + 2 = 5$ ✔
- $2 \cdot 3 - 2 = 4$ ✔
Interpretación gráfica
Cada ecuación es la ecuación de una recta. La solución del sistema es el punto donde se cortan las dos rectas.
| Tipo de sistema | Rectas | Solución |
|---|---|---|
| Compatible determinado | Se cortan en un punto | Una solución única |
| Incompatible | Son paralelas | Ninguna solución |
| Compatible indeterminado | Son la misma recta | Infinitas soluciones |
Método de sustitución
1. Despeja una incógnita en una ecuación. 2. Sustituye su valor en la otra ecuación. 3. Resuelve la ecuación que queda y calcula la otra incógnita.
$x + y = 5$ y $2x - y = 4$
1. De la primera: $y = 5 - x$. 2. Sustituyo en la segunda: $2x - (5 - x) = 4$. 3. Resuelvo: $2x - 5 + x = 4 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$. 4. Calculo $y = 5 - 3 = 2$.
Solución: $x = 3$, $y = 2$.
Método de reducción
Se suman (o restan) las ecuaciones para que una incógnita desaparezca.
$3x + 2y = 12$ y $x - 2y = 4$
Sumo las dos ecuaciones:
Sustituyo en la primera: $3 \cdot 4 + 2y = 12 \Rightarrow 12 + 2y = 12 \Rightarrow y = 0$.
Solución: $x = 4$, $y = 0$.
Método de igualación
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones.
Aplicaciones
Los sistemas sirven para resolver problemas de compras, mezclas, edades o repartos. Por ejemplo: "La suma de dos números es 12 y su diferencia es 4" se traduce como $x + y = 12$ y $x - y = 4$. Sumando: $2x = 16 \Rightarrow x = 8$ e $y = 4$.
Recuerda comprobar siempre la solución sustituyendo los valores en las dos ecuaciones originales.