Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo (con un ángulo de $90°$) los lados se llaman:

  • Hipotenusa: el lado más largo, frente al ángulo recto.
  • Cateto opuesto al ángulo $\alpha$: el cateto que está enfrente.
  • Cateto contiguo al ángulo $\alpha$: el cateto que toca al ángulo.

Las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ son:

$$ \sin \alpha = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \qquad \cos \alpha = \frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}} $$

Ángulos notables

Ángulo$\sin$$\cos$$\tan$
$30°$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$1$
$60°$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{1}{2}$$\sqrt{3}$

Resolver un triángulo rectángulo

Con una razón trigonométrica y un dato (un lado o un ángulo) podemos hallar los lados que faltan, usando también el teorema de Pitágoras para el tercer lado.

una escalera de 5 m apoyada en la pared forma $60°$ con el suelo. ¿A qué altura llega?

La altura $h$ es el cateto opuesto al ángulo de $60°$ y la escalera es la hipotenusa:

$$ \sin 60° = \frac{h}{5} \Rightarrow h = 5 \cdot \sin 60° = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33 \text{ m} $$

La escalera llega a unos 4,33 metros de altura.

un árbol proyecta una sombra de 12 m cuando los rayos del sol forman $45°$ con el suelo

La altura $h$ es el cateto opuesto y la sombra el cateto contiguo:

$$ \tan 45° = \frac{h}{12} \Rightarrow h = 12 \cdot \tan 45° = 12 \cdot 1 = 12 \text{ m} $$

El árbol mide 12 metros.

Aplicaciones

La trigonometría se usa para medir alturas inaccesibles (montañas, torres, edificios), calcular distancias, en navegación, arquitectura y en la construcción de rampas. El ángulo de elevación es el ángulo que forma la línea de visión con la horizontal al mirar hacia arriba.

1. ¿Qué razón trigonométrica relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa? (1 puntos)

2. ¿Cuánto vale $\sin 30°$? (1 puntos)

3. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 cm y uno de sus ángulos agudos es de $30°$. ¿Cuánto mide el cateto opuesto a ese ángulo? (1 puntos)

4. ¿Cuánto vale $\tan 45°$? (1 puntos)

5. Calcula las siguientes razones trigonométricas: (1 puntos)

a ) a) $\cos 60°$

b ) b) $\tan 45°$

6. Un árbol proyecta una sombra de 12 m cuando el ángulo de elevación del sol es de $45°$. ¿Cuánto mide el árbol? (1 puntos)