Propiedades de las Potencias
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:
$$
a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a \text{ (n veces)}
$$
$a$ es la base y $n$ es el exponente.
Propiedades fundamentales
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto (misma base) | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^2 = 2^5 = 32$ |
| Cociente (misma base) | $a^m \div a^n = a^{m-n}$ | $2^5 \div 2^2 = 2^3 = 8$ |
| Potencia de potencia | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ |
| Potencia de un producto | $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ | $(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 36$ |
| Potencia de un cociente | $(a \div b)^n = a^n \div b^n$ | $(6 \div 3)^2 = 6^2 \div 3^2 = 4$ |
Exponentes especiales
- $a^1 = a$: cualquier número elevado a 1 es él mismo.
- $a^0 = 1$: cualquier número distinto de 0 elevado a 0 vale 1.
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: un exponente negativo indica el inverso.
Calcula $3^{-2}$
$$
3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}
$$
Potencias de base 10
Son muy útiles para escribir números grandes o pequeños (notación científica):
- $10^3 = 1000$, $10^6 = 1\,000\,000$
- $10^{-3} = 0{,}001$, $10^{-2} = 0{,}01$
Simplifica $\frac{10^8}{10^5}$
Misma base, se restan los exponentes: $10^{8-5} = 10^3 = 1000$.
Errores comunes
- Confundir $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ con $a^{m^n}$: son cosas distintas.
- Sumar exponentes al multiplicar potencias de distinta base: $2^3 \cdot 3^2$ no se puede simplificar así.
- Olvidar que $a^0 = 1$ (y no $0$).