Distribución binomial y binomio de Newton

El binomio de Newton

El binomio de Newton permite desarrollar potencias como $(a+b)^n$ sin tener que multiplicar el binomio $n$ veces:

$$ (a+b)^n = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \binom{n}{2} a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n} b^n $$

Los números $\binom{n}{k}$ son los números combinatorios (también se escriben $C(n,k)$) y se pueden leer directamente en el triángulo de Pascal:

Fila $n$	Coeficientes de $(a+b)^n$
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1

desarrolla $(x+1)^3$

Con la fila $n = 3$ del triángulo de Pascal (1, 3, 3, 1):

$$ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 $$

De la combinatoria a la probabilidad

Los números combinatorios también cuentan cuántas formas hay de elegir $k$ elementos de un total de $n$ sin importar el orden:

$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} $$

Por ejemplo, $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$: hay 6 formas de elegir 2 elementos entre 4.

Distribución binomial

Un experimento sigue una distribución binomial $B(n, p)$ cuando cumple estas condiciones:

Se repite $n$ veces el mismo experimento de Bernoulli: en cada repetición solo hay dos resultados posibles (éxito o fracaso).
La probabilidad de éxito $p$ es la misma en todas las repeticiones.
Las repeticiones son independientes entre sí.
La variable $X$ cuenta el número de éxitos en las $n$ repeticiones.

Fórmula

$$ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$

lanzamos una moneda 5 veces. ¿Probabilidad de obtener exactamente 3 caras?

Aquí $n = 5$, $k = 3$ y $p = 0{,}5$:

$$ P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^2 = 10 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}25 = 0{,}3125 $$

Hay un 31,25% de probabilidad de obtener exactamente 3 caras.

un examen tiene 6 preguntas de 4 opciones. ¿Probabilidad de acertar exactamente 4 respondiendo al azar?

En cada pregunta la probabilidad de acertar es $p = 1/4 = 0{,}25$. Con $n = 6$ y $k = 4$:

$$ P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^2 = 15 \cdot 0{,}00390625 \cdot 0{,}5625 \approx 0{,}033 $$

Solo hay un 3,3% de probabilidad de acertar exactamente 4 preguntas al azar.

Media de la distribución

En una binomial $B(n, p)$, el número esperado de éxitos es:

$$ \mu = n \cdot p $$

Por ejemplo, si lanzamos una moneda 100 veces, esperamos $100 \cdot 0{,}5 = 50$ caras.

Consejos prácticos

Comprueba antes de calcular que se cumplen las cuatro condiciones de la binomial.
Si el problema pide "al menos $k$ éxitos", suma $P(X = k) + P(X = k+1) + \dots + P(X = n)$.
Usa la calculadora para potencias y números combinatorios grandes, y redondea al final.