El factorial de un número
El factorial de un número natural $n$, escrito $n!$, es el producto de todos los números desde 1 hasta $n$:
Por convenio, $1! = 1$ y $0! = 1$.
Ejemplos: $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ y $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.
Número combinatorio
El número combinatorio $\binom{n}{k}$ (se lee "n sobre k") cuenta cuántos grupos de $k$ elementos se pueden formar con un total de $n$ elementos sin importar el orden:
¿cuántos grupos de 2 personas se pueden formar con 6 personas?
elegir 3 alumnos de una clase de 10 para una excursión
Propiedades
| Propiedad | Expresión |
|---|---|
| Elegir 1 elemento | $\binom{n}{1} = n$ |
| Elegir todos | $\binom{n}{n} = 1$ |
| Elegir ninguno | $\binom{n}{0} = 1$ |
| Simetría | $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ |
La propiedad de simetría dice que elegir $k$ elementos es lo mismo que dejar fuera $n-k$ elementos: por ejemplo, $\binom{8}{3} = \binom{8}{5}$.
Triángulo de Pascal
Cada número del triángulo de Pascal es la suma de los dos números que tiene encima, y coincide con los números combinatorios:
| Fila $n$ | Valores de $\binom{n}{k}$ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
En la fila 4 aparecen, de izquierda a derecha, $\binom{4}{0}$, $\binom{4}{1}$, $\binom{4}{2}$, $\binom{4}{3}$ y $\binom{4}{4}$.
Los números combinatorios son también los coeficientes del binomio de Newton: $(a+b)^n$ se desarrolla con la fila $n$ del triángulo.