Permutaciones (simples, circulares y con repetición)

Permutaciones simples

Una permutación de $n$ elementos es una ordenación de todos los elementos. Dos permutaciones son distintas si el orden de los elementos cambia.

$$ P_n = n! $$

¿de cuántas formas se pueden ordenar 4 libros en una estantería?

$$ P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$

Hay 24 formas distintas de colocar los 4 libros.

Permutaciones circulares

Cuando los elementos se colocan en círculo (una mesa redonda, una pulsera...), girar el círculo no produce una ordenación nueva, así que se fija un elemento y se ordenan los demás:

$$ PC_n = (n-1)! $$

6 personas sentadas alrededor de una mesa redonda

$$ PC_6 = (6-1)! = 5! = 120 $$

Hay 120 formas distintas de sentarlas.

Permutaciones con repetición

Cuando hay elementos repetidos, las ordenaciones que solo intercambian los elementos iguales son la misma. Si un elemento se repite $a$ veces, otro $b$ veces, etc.:

$$ PR_n^{a,b,c,\dots} = \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c! \cdots} $$

palabras distintas (con o sin sentido) con las letras de CASA

La palabra tiene 4 letras y la letra A se repite 2 veces:

$$ PR_4^2 = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 $$

Por ejemplo: CASA, CAAS, CSAA, ACAS...

¿Cómo distinguirlas?

Situación	¿Importa el orden?	¿Se repiten elementos?	Fórmula
Ordenar todos los elementos distintos	Sí	No	$P_n = n!$
Ordenar en círculo	Sí	No	$PC_n = (n-1)!$
Ordenar con elementos repetidos	Sí	Sí	$\frac{n!}{a! \cdot b! \cdots}$

Recuerda: en las permutaciones siempre se usan todos los elementos y el orden importa.

1. ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar 5 libros en una estantería? (1 puntos)

Retroalimentación: Es una permutación simple: $P_5 = 5! = 120$.

2. ¿De cuántas formas pueden sentarse 5 personas alrededor de una mesa redonda? (1 puntos)

Retroalimentación: Es una permutación circular: $PC_5 = (5-1)! = 4! = 24$.

3. ¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar con las letras de ALA? (1 puntos)

Retroalimentación: La letra A se repite 2 veces: $PR_3^2 = \frac{3!}{2!} = \frac{6}{2} = 3$. Las palabras son ALA, AAL y LAA.

4. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de SOL? (1 puntos)

3 6 9 27

Retroalimentación: Las 3 letras son distintas: $P_3 = 3! = 6$ (SOL, SLO, OSL, OLS, LSO, LOS).

5. ¿Cuándo se usa una permutación circular? (1 puntos)

Cuando los elementos se ordenan en círculo y girar no cambia la ordenación Cuando hay elementos repetidos Cuando solo se ordenan algunos elementos Cuando el orden de los elementos no importa

Retroalimentación: En un círculo, rotar toda la ordenación no crea una nueva, por eso se fija un elemento y se usa $(n-1)!$.

6. Calcula: (1 puntos)

a ) Permutaciones con repetición de la palabra BANANA

b ) $P_6$ (permutaciones simples de 6 elementos)

Retroalimentación: BANANA: $\frac{6!}{3! \cdot 2!} = 60$ palabras. $P_6 = 6! = 720$ ordenaciones.

7. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de MAMA? (1 puntos)

Retroalimentación: La M se repite 2 veces y la A otras 2: $PR = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$.