Introducción

La distribución normal (o de Gauss) es la distribución de probabilidad continua más importante. Describe magnitudes como la estatura, el peso, los errores de medida o las notas de un examen grande, que se agrupan alrededor de un valor central y se reparten de forma simétrica.

Se escribe $X \sim N(\mu, \sigma)$, donde:

  • $\mu$ es la media: centro de la campana.
  • $\sigma$ es la desviación típica: mide lo ancha o estrecha que es la campana.

Función de densidad

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Propiedades

  • Tiene forma de campana y es simétrica respecto de $x = \mu$.
  • Media, mediana y moda coinciden en $\mu$.
  • El área total bajo la curva es 1.
  • Tiene máximo en $x = \mu$ y puntos de inflexión en $x = \mu \pm \sigma$.
  • Es asintótica al eje $X$: nunca llega a tocarlo.
  • Un $\sigma$ mayor da una campana más ancha y baja; un $\sigma$ menor, una más estrecha y alta.

Regla empírica (68 - 95 - 99,7)

En una distribución normal:

  • $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0{,}6827$
  • $P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545$
  • $P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0{,}9973$

Ejemplo Si las estaturas siguen $N(170, 8)$ cm, alrededor del 68 % de las personas mide entre 162 y 178 cm, y cerca del 95 % entre 154 y 186 cm.

Distribución normal estándar N(0,1)

Es la normal con $\mu = 0$ y $\sigma = 1$. Se representa por $Z$ y sus probabilidades $P(Z \le z)$ están tabuladas.

Tipificación

Cualquier normal $X \sim N(\mu, \sigma)$ se transforma en una estándar con:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

El valor $z$ indica a cuántas desviaciones típicas está $x$ de la media.

Uso de la tabla

  • $P(Z \le z)$ se lee directamente en la tabla.
  • $P(Z > z) = 1 - P(Z \le z)$
  • $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$ (por la simetría)
  • $P(a < Z < b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$

Ejemplo Las notas de un examen siguen $N(6, 1{,}5)$. ¿Qué probabilidad hay de sacar más de 8?

$z = \frac{8 - 6}{1{,}5} \approx 1{,}33$

$P(X > 8) = P(Z > 1{,}33) = 1 - P(Z \le 1{,}33) = 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918$

Es decir, alrededor del 9,2 %.

Ejemplo Con la misma distribución, ¿qué probabilidad hay de sacar entre 5 y 7?

$z_1 = \frac{5-6}{1{,}5} \approx -0{,}67 \qquad z_2 = \frac{7-6}{1{,}5} \approx 0{,}67$

$P(-0{,}67 < Z < 0{,}67) = 2 \cdot 0{,}7486 - 1 = 0{,}4972$

Origen: el teorema central del límite

Si una variable es la suma de muchos efectos pequeños e independientes, su distribución se aproxima a una normal. Por eso aparece tanto en la naturaleza. Puedes verlo en la [simulación de la máquina de Galton](/es/matematicas/estadistica/galton).

Aproximación de la binomial

Si $X \sim B(n, p)$ con $np \ge 5$ y $nq \ge 5$, entonces $X$ se aproxima por $N\left(np, \sqrt{npq}\right)$. Conviene aplicar la corrección de continuidad ($\pm 0{,}5$).

1. ¿Cuáles son los parámetros de la distribución normal $N(\mu, \sigma)$? (1 puntos)

2. ¿Qué porcentaje aproximado de datos está en $\mu \pm 2\sigma$? (1 puntos)

3. Si $X \sim N(50, 10)$, ¿cuánto vale el valor tipificado de $x = 70$? (1 puntos)

4. Si $P(Z \le 1{,}2) = 0{,}8849$, ¿cuánto vale $P(Z > 1{,}2)$? (1 puntos)

5. ¿Qué ocurre con la campana al aumentar $\sigma$ manteniendo $\mu$? (1 puntos)

6. Las alturas de un grupo siguen $N(165, 6)$ cm. Calcula $P(X > 171)$ usando que $P(Z \le 1) = 0{,}8413$. (2 puntos)