Interés Compuesto
En el interés compuesto, los intereses de cada período se suman al capital y generan nuevos intereses en el período siguiente. El dinero crece más rápido que con el interés simple.
Fórmula principal
$$
C_n = C_0 \cdot (1 + r)^n
$$
Donde:
- $C_n$ = capital final tras $n$ períodos
- $C_0$ = capital inicial
- $r$ = tipo de interés por período (en tanto por uno)
- $n$ = número de períodos
Comparación: simple vs compuesto
| Año | Interés simple (4%) | Interés compuesto (4%) |
|---|---|---|
| 0 | 1.000 € | 1.000 € |
| 1 | 1.040 € | 1.040 € |
| 2 | 1.080 € | 1.081,60 € |
| 3 | 1.120 € | 1.124,86 € |
| 5 | 1.200 € | 1.216,65 € |
A más tiempo, mayor diferencia a favor del interés compuesto.
Ejemplos resueltos
Invertimos 3.000 € al 5% anual compuesto durante 3 años. ¿Cuál es el capital final?
$$
C_3 = 3000 \cdot (1 + 0{,}05)^3 = 3000 \cdot 1{,}157625 = 3472{,}88 \text{ €}
$$
¿Cuánto capital inicial hay que invertir al 4% anual compuesto para obtener 5.000 € en 2 años?
Despejamos $C_0$:
$$
C_0 = \frac{C_n}{(1+r)^n} = \frac{5000}{(1{,}04)^2} = \frac{5000}{1{,}0816} \approx 4622{,}78 \text{ €}
$$
¿A qué tipo de interés compuesto crecerá 1.000 € hasta 1.331 € en 3 años?
$$
r = \left(\frac{1331}{1000}\right)^{1/3} - 1 = (1{,}331)^{1/3} - 1 = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 = 10\%
$$
Despejes
$$
C_0 = \frac{C_n}{(1+r)^n} \qquad r = \left(\frac{C_n}{C_0}\right)^{1/n} - 1 \qquad n = \frac{\log(C_n/C_0)}{\log(1+r)}
$$