Sistema de Coordenadas Cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas, también conocido como plano cartesiano, es un sistema de referencia que permite ubicar puntos en un espacio mediante el uso de coordenadas. Fue desarrollado por el matemático y filósofo francés René Descartes en el siglo XVII, y constituye la base para la representación gráfica de funciones y relaciones matemáticas.

Sistema cartesiano con sus cuatro cuadrantes y ejes de coordenadas.

Elementos del Sistema Cartesiano

Ejes de Coordenadas

Un sistema cartesiano bidimensional está formado por dos rectas perpendiculares que se intersectan en un punto llamado origen. Estas rectas son:

• Eje X o eje de abscisas: Es la recta horizontal. Los valores aumentan hacia la derecha.
• Eje Y o eje de ordenadas: Es la recta vertical. Los valores aumentan hacia arriba.

Origen de Coordenadas

El origen de coordenadas es el punto donde se cruzan los ejes X e Y. Sus coordenadas son (0,0).

Cuadrantes

Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que se numeran en sentido antihorario:

• Primer cuadrante (I): x > 0, y > 0 (arriba a la derecha)
• Segundo cuadrante (II): x < 0, y > 0 (arriba a la izquierda)
• Tercer cuadrante (III): x < 0, y < 0 (abajo a la izquierda)
• Cuarto cuadrante (IV): x > 0, y < 0 (abajo a la derecha)

Coordenadas de un Punto

Para ubicar un punto P en el plano cartesiano, utilizamos un par ordenado de números (x, y) donde:

• x (abscisa): Es la distancia horizontal desde el eje Y hasta el punto.
• y (ordenada): Es la distancia vertical desde el eje X hasta el punto.

El orden de las coordenadas es importante: primero se indica la abscisa y luego la ordenada.

Ejemplos de Coordenadas

• Punto (3, 4): 3 unidades a la derecha del origen y 4 unidades hacia arriba.
• Punto (-2, 5): 2 unidades a la izquierda del origen y 5 unidades hacia arriba.
• Punto (4, -1): 4 unidades a la derecha del origen y 1 unidad hacia abajo.
• Punto (-3, -6): 3 unidades a la izquierda del origen y 6 unidades hacia abajo.

Visualización de puntos en el plano cartesiano:

Casos Particulares

Algunos puntos tienen ubicaciones especiales en el sistema cartesiano:

• Puntos sobre el eje X: Tienen coordenada y = 0. Ejemplo: (5, 0).
• Puntos sobre el eje Y: Tienen coordenada x = 0. Ejemplo: (0, -3).
• Origen: Es el punto (0, 0), donde se cruzan ambos ejes.

Distancia entre Dos Puntos

La distancia entre dos puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) en el plano cartesiano se calcula mediante el teorema de Pitágoras:

\(d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Ejemplo de cálculo de distancia

Calculemos la distancia entre los puntos A(1, 2) y B(4, 6):

\(d(A, B) = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Aplicaciones del Sistema Cartesiano

El sistema cartesiano tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y otras disciplinas:

• Representación gráfica de funciones: Permite visualizar el comportamiento de funciones matemáticas.
• Geometría analítica: Facilita el estudio de figuras geométricas usando coordenadas y ecuaciones.
• Física y ciencias: Se utiliza para representar magnitudes físicas, velocidades, posiciones, etc.
• Cartografía: Los sistemas de coordenadas geográficas se basan en principios similares.
• Diseño asistido por computadora: Los programas CAD utilizan sistemas de coordenadas para el diseño.

Extensión a Tres Dimensiones

El sistema cartesiano puede extenderse a tres dimensiones añadiendo un tercer eje perpendicular a los otros dos:

• Eje Z: Perpendicular al plano XY.
• Las coordenadas de un punto en el espacio tridimensional se representan como (x, y, z).

Importancia del Sistema Cartesiano

El sistema cartesiano representa uno de los avances más importantes en la historia de las matemáticas, ya que:

• Unificó la geometría y el álgebra, dando origen a la geometría analítica.
• Permitió representar visualmente relaciones algebraicas.
• Sentó las bases para el desarrollo del cálculo diferencial e integral.
• Es fundamental para la comprensión y aplicación de conceptos matemáticos avanzados.