Funciones Cónicas

Las cónicas o secciones cónicas son las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto con un plano. Dependiendo del ángulo y posición del plano respecto al eje del cono, se obtienen cuatro tipos de curvas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

Las cuatro secciones cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

Además de su definición geométrica como cortes de un cono, las cónicas también pueden definirse por sus propiedades focales y mediante ecuaciones algebraicas.

La Circunferencia

Definición

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia constante (radio) de un punto fijo llamado centro.

Ecuación Canónica

La ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r es:

$x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Si el centro está en el origen (0, 0), la ecuación se simplifica a:

$x^2 + y^2 = r^2$

Forma General

La ecuación general de una circunferencia es:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

donde:

  • El centro es el punto $- \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$
  • El radio es $r = \sqrt{ \frac{D^2 + E^2}{4} - F}$

Propiedades

  • Todos los puntos están a la misma distancia del centro.
  • Es un caso especial de elipse donde ambos semiejes son iguales.
  • Su excentricidad es 0.
  • Tiene un centro de simetría y infinitos ejes de simetría (los diámetros).

La Elipse

Definición

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Ecuación Canónica

La ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados es:

$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

donde:

  • $a$ es el semieje mayor (la mitad del eje mayor)
  • $b$ es el semieje menor (la mitad del eje menor)
  • Si $a > b$, el eje mayor está sobre el eje X
  • Si $\( a 1

Ejemplo: Identificación de una Cónica

Identificar y describir la cónica dada por la ecuación 4x² + 9y² = 36

Proceso paso a paso:

  • Reescribimos la ecuación en forma canónica:

$4x^2 + 9y^2 = 36 \Rightarrow \frac{4x^236 + \frac{9y^2}{36} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

  • Esta es la ecuación de una elipse con centro en el origen y:

Semieje mayor a = 3 (en dirección del eje X)

  • Semieje menor b = 2 (en dirección del eje Y)
  • Focos en (±c, 0) donde c² = a² - b² = 9 - 4 = 5, por lo que c = √5 ≈ 2.24
  • Excentricidad e = c/a = √5/3 ≈ 0.745
  • Vértices en (±3, 0) y (0, ±2)

Aplicaciones de las Cónicas

Circunferencia

  • Ruedas, engranajes y mecanismos circulares.
  • Movimiento circular uniforme en física.
  • Órbitas circulares en astronomía.

Gráfico: Circunferencia con centro en (0, 0) y radio 2

Ecuación: x² + y² = 4

Elipse

  • Órbitas planetarias (leyes de Kepler).
  • Salas de susurros (galerías elípticas).
  • Litotripsia (destrucción de cálculos renales).
  • Engranajes elípticos.

Gráfico: Elipse con semiejes a = 4 y b = 2

Ecuación: x²/16 + y²/4 = 1

Hipérbola

  • Sistemas de navegación hiperbólicos.
  • Telescopios reflectores hiperbólicos.
  • Torres de refrigeración en centrales eléctricas.
  • Trayectorias de cometas.

Gráfico: Hipérbola con semiejes a = 2 y b = 1

Ecuación: x²/4 - y²/1 = 1

Parábola

  • Antenas parabólicas.
  • Faros de vehículos.
  • Puentes colgantes.
  • Trayectoria de proyectiles bajo gravedad uniforme.
  • Espejos reflectores parabólicos.

Gráfico: Parábola con parámetro p = 1

Ecuación: y² = 4x

1. ¿Qué cónica se obtiene cuando un plano corta a un cono formando un ángulo perpendicular al eje del cono? (1 puntos)

2. ¿Cuál es la excentricidad de una circunferencia? (1 puntos)

3. ¿Cuál es la cónica que tiene dos focos y todos sus puntos cumplen que la suma de las distancias a los focos es constante? (1 puntos)

4. ¿Qué cónica tiene excentricidad igual a 1? (1 puntos)

5. ¿Cuál es la forma general de la ecuación de una circunferencia centrada en el origen? (1 puntos)

6. Sobre las cónicas: (3 puntos)

a ) ¿Cuántos focos tiene una parábola?

b ) ¿Qué cónica tiene la propiedad de que cualquier rayo que pase por uno de sus focos se refleja hacia el otro foco?

c ) La ecuación x²/9 + y²/4 = 1 representa:

7. ¿Qué cónica tiene asíntotas? (1 puntos)

8. Identifique las siguientes cónicas: (3 puntos)

a ) (x-2)² + (y+1)² = 16

b ) y² = 8x

c ) x²/25 - y²/9 = 1