Funciones Cónicas

Las cónicas o secciones cónicas son las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto con un plano. Dependiendo del ángulo y posición del plano respecto al eje del cono, se obtienen cuatro tipos de curvas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

Las cuatro secciones cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

Además de su definición geométrica como cortes de un cono, las cónicas también pueden definirse por sus propiedades focales y mediante ecuaciones algebraicas.

La Circunferencia

Definición

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia constante (radio) de un punto fijo llamado centro.

Ecuación Canónica

La ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r es:

\(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)

Si el centro está en el origen (0, 0), la ecuación se simplifica a:

\(x^2 + y^2 = r^2\)

Forma General

La ecuación general de una circunferencia es:

\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)

donde:

• El centro es el punto \(- \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})\)
• El radio es \(r = \sqrt{ \frac{D^2 + E^2}{4} - F}\)

Propiedades

• Todos los puntos están a la misma distancia del centro.
• Es un caso especial de elipse donde ambos semiejes son iguales.
• Su excentricidad es 0.
• Tiene un centro de simetría y infinitos ejes de simetría (los diámetros).

La Elipse

Definición

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Ecuación Canónica

La ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados es:

\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

donde:

• \(a\) es el semieje mayor (la mitad del eje mayor)
• \(b\) es el semieje menor (la mitad del eje menor)
• Si \(a > b\), el eje mayor está sobre el eje X
• Si $\( a 1

Ejemplo: Identificación de una Cónica

Identificar y describir la cónica dada por la ecuación 4x² + 9y² = 36

Proceso paso a paso:

• Reescribimos la ecuación en forma canónica:

\(4x^2 + 9y^2 = 36 \Rightarrow \frac{4x^236 + \frac{9y^2}{36} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)

• Esta es la ecuación de una elipse con centro en el origen y:

Semieje mayor a = 3 (en dirección del eje X)

• Semieje menor b = 2 (en dirección del eje Y)
• Focos en (±c, 0) donde c² = a² - b² = 9 - 4 = 5, por lo que c = √5 ≈ 2.24
• Excentricidad e = c/a = √5/3 ≈ 0.745
• Vértices en (±3, 0) y (0, ±2)

Aplicaciones de las Cónicas

Circunferencia

• Ruedas, engranajes y mecanismos circulares.
• Movimiento circular uniforme en física.
• Órbitas circulares en astronomía.

Gráfico: Circunferencia con centro en (0, 0) y radio 2

Ecuación: x² + y² = 4

Elipse

• Órbitas planetarias (leyes de Kepler).
• Salas de susurros (galerías elípticas).
• Litotripsia (destrucción de cálculos renales).
• Engranajes elípticos.

Gráfico: Elipse con semiejes a = 4 y b = 2

Ecuación: x²/16 + y²/4 = 1

Hipérbola

• Sistemas de navegación hiperbólicos.
• Telescopios reflectores hiperbólicos.
• Torres de refrigeración en centrales eléctricas.
• Trayectorias de cometas.

Gráfico: Hipérbola con semiejes a = 2 y b = 1

Ecuación: x²/4 - y²/1 = 1

Parábola

• Antenas parabólicas.
• Faros de vehículos.
• Puentes colgantes.
• Trayectoria de proyectiles bajo gravedad uniforme.
• Espejos reflectores parabólicos.

Gráfico: Parábola con parámetro p = 1

Ecuación: y² = 4x