Rectas en el Plano Cartesiano

Una recta en el plano cartesiano es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen una función lineal. Las rectas son fundamentales en geometría analítica y representan relaciones lineales entre variables.

Funciones Lineales y Rectas

Existen diferentes formas de expresar la función de una recta:

Forma General

La forma general o implícita de la función de una recta es:

\(Ax + By + C = 0\)

Donde A, B y C son constantes reales, y A y B no pueden ser simultáneamente cero.

Forma Explícita

La forma explícita o pendiente-ordenada es:

\(y = mx + n\)

Donde:

• \(m\) es la pendiente de la recta (inclinación).

\(n\) es la ordenada en el origen (el valor de y cuando x = 0).

Forma Punto-Pendiente

Si conocemos un punto P(x₀, y₀) de la recta y su pendiente m, podemos escribir:

\(y - y_0 = m(x - x_0)\)

Cálculo de la Función Lineal que Pasa por Dos Puntos

Si tenemos dos puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂), podemos calcular la función lineal que pasa por ellos siguiendo estos pasos:

Calcular la pendiente: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

Utilizar la forma punto-pendiente con uno de los puntos: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)

Despejar para obtener la forma explícita: \(y = mx + n\)

Alternativamente, podemos usar directamente la fórmula:

\(y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) + y_1\)

Visualización de rectas con diferentes pendientes:

Forma Segmentaria

Si la recta corta a los ejes en los puntos (a, 0) y (0, b), con a y b distintos de cero, su ecuación es:

\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

La Pendiente de una Recta

La pendiente (m) de una recta mide su inclinación respecto al eje horizontal. Se calcula como:

\(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son dos puntos cualesquiera de la recta.

Interpretación Geométrica de la Pendiente

Si m > 0: La recta es creciente (sube de izquierda a derecha).

Si m < 0: La recta es decreciente (baja de izquierda a derecha).

• Si m = 0: La recta es horizontal (paralela al eje X).

Si m no está definida (división por cero): La recta es vertical (paralela al eje Y).

La pendiente también está relacionada con el ángulo α que forma la recta con el eje X positivo:

\(m = \tan(\alpha)\)

Casos Particulares de Rectas

Recta Horizontal

Una recta horizontal tiene ecuación y = k, donde k es una constante. Su pendiente es m = 0.

Recta Vertical

Una recta vertical tiene ecuación x = h, donde h es una constante. Su pendiente no está definida.

Recta que Pasa por el Origen

Una recta que pasa por el origen (0, 0) tiene ecuación y = mx o Ax + By = 0.

Posiciones Relativas entre Rectas

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente pero distinta ordenada en el origen:

\(y = mx + n_1\) y \(y = mx + n_2\) con \(n_1 \neq n_2\)

Rectas Coincidentes

Dos rectas son coincidentes (la misma recta) si tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen.

Rectas Secantes

Dos rectas son secantes si tienen pendientes diferentes y, por tanto, se cruzan en un punto.

Rectas Perpendiculares

Dos rectas con pendientes m₁ y m₂ son perpendiculares si y solo si:

\(m_1 \cdot m_2 = -1\)

Es decir, si m₂ = -1/m₁ (siempre que ambas pendientes estén definidas).

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Hallar la función de una recta que pasa por dos puntos

Encuentra la función de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 9).

Solución:

Calculamos la pendiente:

\(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2\)

Usamos la forma punto-pendiente con el punto A(1, 3):

\(y - 3 = 2(x - 1)\)

Desarrollamos:

\(y - 3 = 2x - 2\)

\(y = 2x + 1\)

La función lineal en forma explícita es y = 2x + 1.

Ejemplo 2: Cómo dibujar una función lineal

Dibuja la función lineal f(x) = -2x + 4.

Solución:

Identificamos los parámetros: m = -2 (pendiente) y n = 4 (ordenada en el origen).

• Marcamos el punto (0, 4) en el eje Y.

Como m = -2, por cada unidad que avanzamos en x, descendemos 2 unidades en y.

Así, otro punto sería (1, 2).

También podemos calcular más puntos:

Para x = 2: f(2) = -2·2 + 4 = 0

Para x = -1: f(-1) = -2·(-1) + 4 = 6

• Trazamos la recta que pasa por estos puntos.

Ejemplo 2: Determinar si dos rectas son perpendiculares

Determina si las rectas r: 2x - 3y + 4 = 0 y s: 3x + 2y

• 5 = 0 son perpendiculares.

Solución:

Expresamos ambas rectas en forma explícita:

r: 2x - 3y + 4 = 0 → 3y = 2x + 4 → y = (2/3)x + (4/3)

s: 3x + 2y - 5 = 0 → 2y = -3x + 5 → y = (-3/2)x + (5/2)

Verificamos si el producto de sus pendientes es -1:

\(m_r \cdot m_s = \frac{2}{3} \cdot \left(- \frac{3}{2}\right) = -1\)

Como el producto de las pendientes es -1, las rectas son perpendiculares.