Rectas en el Plano Cartesiano
Una recta en el plano cartesiano es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen una función lineal. Las rectas son fundamentales en geometría analítica y representan relaciones lineales entre variables.
Funciones Lineales y Rectas
Existen diferentes formas de expresar la función de una recta:
Forma General
La forma general o implícita de la función de una recta es:
$Ax + By + C = 0$
Donde A, B y C son constantes reales, y A y B no pueden ser simultáneamente cero.
Forma Explícita
La forma explícita o pendiente-ordenada es:
$y = mx + n$
Donde:
- $m$ es la pendiente de la recta (inclinación).
$n$ es la ordenada en el origen (el valor de y cuando x = 0).
Forma Punto-Pendiente
Si conocemos un punto P(x₀, y₀) de la recta y su pendiente m, podemos escribir:
$y - y_0 = m(x - x_0)$
Cálculo de la Función Lineal que Pasa por Dos Puntos
Si tenemos dos puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂), podemos calcular la función lineal que pasa por ellos siguiendo estos pasos:
Calcular la pendiente: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Utilizar la forma punto-pendiente con uno de los puntos: $y - y_1 = m(x - x_1)$
Despejar para obtener la forma explícita: $y = mx + n$
Alternativamente, podemos usar directamente la fórmula:
$y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) + y_1$
Visualización de rectas con diferentes pendientes:
Forma Segmentaria
Si la recta corta a los ejes en los puntos (a, 0) y (0, b), con a y b distintos de cero, su ecuación es:
$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
La Pendiente de una Recta
La pendiente (m) de una recta mide su inclinación respecto al eje horizontal. Se calcula como:
$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son dos puntos cualesquiera de la recta.
Interpretación Geométrica de la Pendiente
Si m > 0: La recta es creciente (sube de izquierda a derecha).
Si m < 0: La recta es decreciente (baja de izquierda a derecha).
- Si m = 0: La recta es horizontal (paralela al eje X).
Si m no está definida (división por cero): La recta es vertical (paralela al eje Y).
La pendiente también está relacionada con el ángulo α que forma la recta con el eje X positivo:
$m = \tan(\alpha)$
Casos Particulares de Rectas
Recta Horizontal
Una recta horizontal tiene ecuación y = k, donde k es una constante. Su pendiente es m = 0.
Recta Vertical
Una recta vertical tiene ecuación x = h, donde h es una constante. Su pendiente no está definida.
Recta que Pasa por el Origen
Una recta que pasa por el origen (0, 0) tiene ecuación y = mx o Ax + By = 0.
Posiciones Relativas entre Rectas
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente pero distinta ordenada en el origen:
$y = mx + n_1$ y $y = mx + n_2$ con $n_1 \neq n_2$
Rectas Coincidentes
Dos rectas son coincidentes (la misma recta) si tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen.
Rectas Secantes
Dos rectas son secantes si tienen pendientes diferentes y, por tanto, se cruzan en un punto.
Rectas Perpendiculares
Dos rectas con pendientes m₁ y m₂ son perpendiculares si y solo si:
$m_1 \cdot m_2 = -1$
Es decir, si m₂ = -1/m₁ (siempre que ambas pendientes estén definidas).
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Hallar la función de una recta que pasa por dos puntos
Encuentra la función de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 9).
Solución:
Calculamos la pendiente:
$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$
Usamos la forma punto-pendiente con el punto A(1, 3):
$y - 3 = 2(x - 1)$
Desarrollamos:
$y - 3 = 2x - 2$
$y = 2x + 1$
La función lineal en forma explícita es y = 2x + 1.
Ejemplo 2: Cómo dibujar una función lineal
Dibuja la función lineal f(x) = -2x + 4.
Solución:
Identificamos los parámetros: m = -2 (pendiente) y n = 4 (ordenada en el origen).
- Marcamos el punto (0, 4) en el eje Y.
Como m = -2, por cada unidad que avanzamos en x, descendemos 2 unidades en y.
Así, otro punto sería (1, 2).
También podemos calcular más puntos:
Para x = 2: f(2) = -2·2 + 4 = 0
Para x = -1: f(-1) = -2·(-1) + 4 = 6
- Trazamos la recta que pasa por estos puntos.
Ejemplo 2: Determinar si dos rectas son perpendiculares
Determina si las rectas r: 2x - 3y + 4 = 0 y s: 3x + 2y
- 5 = 0 son perpendiculares.
Solución:
Expresamos ambas rectas en forma explícita:
r: 2x - 3y + 4 = 0 → 3y = 2x + 4 → y = (2/3)x + (4/3)
s: 3x + 2y - 5 = 0 → 2y = -3x + 5 → y = (-3/2)x + (5/2)
Verificamos si el producto de sus pendientes es -1:
$m_r \cdot m_s = \frac{2}{3} \cdot \left(- \frac{3}{2}\right) = -1$
Como el producto de las pendientes es -1, las rectas son perpendiculares.