Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con varias incógnitas. En secundaria, normalmente trabajamos con sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas.

La forma general de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es:

\(\begin{array}{rl} a_1x + b_1y &= c_1 \\ a_2x + b_2y &= c_2 \end{array}\)

Donde:

\(a_1, a_2, b_1, b_2\) son los coeficientes de las incógnitas

• \(x, y\) son las incógnitas
• \(c_1, c_2\) son los términos independientes

Tipos de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican según el número de soluciones que tienen:

Sistema Compatible Determinado

Un sistema es compatible determinado cuando tiene exactamente una solución. Gráficamente, corresponde a dos rectas que se intersectan en un único punto.

Sistema compatible determinado: las rectas se cortan en un único punto.

Sistema Compatible Indeterminado

Un sistema es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Gráficamente, corresponde a dos rectas coincidentes (la misma recta).

Sistema compatible indeterminado: las rectas son coincidentes.

Sistema Incompatible

Un sistema es incompatible cuando no tiene solución. Gráficamente, corresponde a dos rectas paralelas distintas.

Sistema incompatible: las rectas son paralelas y no coincidentes.

Operando con Ecuaciones en Diferentes Formas

A veces, las ecuaciones no aparecen en la forma estándar ax + by = c. Podemos encontrar ecuaciones con fracciones, paréntesis, o donde las incógnitas aparecen en ambos lados. Antes de resolver el sistema, debemos transformar las ecuaciones a la forma estándar.

Casos Comunes y Cómo Operar

Ecuaciones con fracciones: Multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para eliminar las fracciones.

Ecuaciones con paréntesis: Aplicar la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

Incógnitas en ambos lados: Agrupar los términos con incógnitas en un lado y los términos independientes en el otro.

Ecuaciones en forma de cocientes: Multiplicar en cruz para eliminar los denominadores.

Ejemplo: Transformar ecuaciones a la forma estándar Transformar el siguiente sistema a la forma estándar:

\(\begin{array}{rl} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} &= 1 \\ 2(x - 1) - y &= 3 \end{array}\)

Solución:

• Primera ecuación - eliminar fracciones:

\(frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1\)

Multiplicamos toda la ecuación por 6 (mcm de 2 y 3):

\(6 \cdot \left( \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right) = 6 \cdot 1\)

\(frac{6x}{2} - \frac{6y}{3} = 6\) \(3x - 2y = 6\)

<ul> <li>Segunda ecuación - eliminar paréntesis:</li> </ul> \(2(x - 1) - y = 3\) \(2x - 2 - y = 3\) \(2x - y = 5\)

El sistema transformado queda:

\(\begin{array}{rl} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} &= 1 \\ 2x - y &= 5 \end{array}\)

Ejemplo: Incógnitas en ambos lados Transformar a la forma estándar:

\(\begin{array}{rl} x + 2 &= 3y - x \\ 2x - y &= 4 + y \end{array}\)

Solución:

• Primera ecuación - agrupar incógnitas:

\(x + 2 = 3y - x\) \(x + x = 3y - 2\) \(2x = 3y - 2\) \(2x - 3y = -2\)

• Segunda ecuación - agrupar términos:

\(2x - y = 4 + y\) \(2x - y - y = 4\) \(2x - 2y = 4\) \(x - y = 2\) (dividiendo entre 2)

El sistema transformado queda:

\(\begin{array}{rl} 2x - 3y &= -2 \\ x - y &= 2 \end{array}\)

Métodos de Resolución

En secundaria, los métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son:

Método de Sustitución

Este método consiste en:

• Despejar una incógnita en una de las ecuaciones.
• Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

Resolver la ecuación resultante para hallar el valor de una incógnita.

Sustituir este valor en la expresión despejada para hallar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: Resolver un sistema por el método de sustitución

Resolver el sistema \(\begin{array}{rl}2x + y &= 5 \\ x - y &= 1\end{array}\)

De la segunda ecuación: \(x - y = 1 \Rightarrow y = x - 1\)

Sustituimos en la primera: \(2x + (x - 1) = 5 \Rightarrow 3x - 1 = 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)

Sustituimos x = 2 en y = x - 1: \(y = 2 - 1 = 1\)

<ul> <li>Solución: (2, 1)</li> </ul>

<h4>Método de Igualación</h4> Este método consiste en:

<ul> <li>Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.</li> <li>Igualar las expresiones obtenidas.</li> <li></li> </ul> Resolver la ecuación resultante para hallar el valor de una incógnita.

<ul> <li></li> </ul> Sustituir este valor en cualquiera de las expresiones despejadas para hallar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: Resolver un sistema por el método de igualación

Resolver el sistema \(\begin{array}{rl}2x + y &= 5 \\ x - y &= 1\end{array}\)

<ul> <li>De la primera ecuación: \(y = 5 - 2x\)

De la segunda ecuación: \(y = x - 1\)</li> <li></li> </ul> Igualamos: \(5 - 2x = x - 1 \Rightarrow 5 + 1 = x + 2x \Rightarrow 6 = 3x \Rightarrow x = 2\)

<ul> <li></li> </ul> Sustituimos x = 2 en y = x - 1: \(y = 2 - 1 = 1\)

• Solución: (2, 1)

Método de Eliminación

Este método (también llamado de reducción) consiste en:

Multiplicar las ecuaciones, si es necesario, para que los coeficientes de una misma incógnita sean iguales en valor absoluto.

Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una incógnita.

Resolver la ecuación resultante para hallar el valor de una incógnita.

Sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: Resolver un sistema por el método de eliminación

Resolver el sistema \(\begin{array}{rl}2x + y &= 5 \\ x - y &= 1\end{array}\)

Sumamos las ecuaciones: \((2x + y) + (x - y) = 5 + 1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)

Sustituimos x = 2 en la segunda ecuación: \(2 - y = 1 \Rightarrow y = 1\)

• Solución: (2, 1)

Ejemplos de Aplicación

Problema: Edades de padre e hijo

Enunciado: La edad de un padre es el triple de la de su hijo. Dentro de 12 años, la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Qué edad tienen actualmente? Solución:

Sea x = edad actual del hijo, y = edad actual del padre.

• Primera condición: \(y = 3x\)</li> <li></li> </ul> Segunda condición: \(y + 12 = 2(x + 12) \Rightarrow y + 12 = 2x + 24 \Rightarrow y = 2x + 12\)

  <ul> <li></li> </ul> Tenemos el sistema: \(\begin{align}y &= 3x \\ y &= 2x + 12\end{align}\)

  <ul> <li>Igualamos: \(3x = 2x + 12 \Rightarrow x = 12\)

• Sustituimos: \(y = 3 \cdot 12 = 36\)</li> <li>El hijo tiene 12 años y el padre 36 años.</li> </ul>

  Problema: Mezcla de productos

  <strong>Enunciado:</strong> Un comerciante mezcla dos tipos de café: uno a 8€/kg y otro a 12€/kg. Quiere obtener 50kg de mezcla a 9,5€/kg. ¿Cuántos kg debe usar de cada tipo?

  <strong>Solución:</strong>

  <ul> <li></li> </ul> Sean x = kg de café a 8€/kg, y = kg de café a 12€/kg.

  <ul> <li>Cantidad total: \(x + y = 50\)

• Valor total: \(8x + 12y = 9,5 \cdot 50 = 475\)</li> <li></li> </ul> Tenemos el sistema: \(\begin{align}x + y &= 50 \\ 8x + 12y &= 475\end{align}\)

  <ul> <li>De la primera: \(x = 50 - y\)

Sustituimos en la segunda: \(8(50 - y) + 12y = 475 \Rightarrow 400 - 8y + 12y = 475 \Rightarrow 400 + 4y = 475 \Rightarrow 4y = 75 \Rightarrow y = 18,75\)

• Por tanto: \(x = 50 - 18,75 = 31,25`\)

Debe usar 31,25 kg del café de 8€/kg y 18,75 kg del café de 12€/kg.