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Área de Figuras Planas (2D)
El área es la medida de la región encerrada por una figura plana. Se expresa en unidades cuadradas (cm², m², km², etc.).
Concepto de Área
El área representa la cantidad de superficie que ocupa una figura. Es una magnitud bidimensional que nos permite comparar el tamaño de diferentes figuras. Piensa en ello como "cuánta pintura necesitarías para cubrir una superficie".
Fórmulas de Figuras Básicas
1. Triángulos
| Tipo | Fórmula |
|---|---|
| General | \(A = \frac{b \times h}{2}\) |
| Equilátero | \(A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) |
| Con 3 lados (Herón) | \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) donde \(s = \frac{a+b+c}{2}\) |
Ejemplo: Triángulo general
Base = 12 cm, Altura = 8 cm
\[A = \frac{12 \times 8}{2} = \frac{96}{2} = 48 \text{ cm}^2\]
2. Cuadriláteros
| Figura | Fórmula |
|---|---|
| Cuadrado | \(A = a^2\) |
| Rectángulo | \(A = b \times h\) |
| Paralelogramo | \(A = b \times h\) |
| Rombo | \(A = \frac{d_1 \times d_2}{2}\) |
| Trapecio | \(A = \frac{(b_1 + b_2) \times h}{2}\) |
Ejemplo: Rectángulo
Base = 15 cm, Altura = 10 cm
\[A = 15 \times 10 = 150 \text{ cm}^2\]
Ejemplo: Rombo con diagonales
\(d_1 = 10\) cm, \(d_2 = 8\) cm
\[A = \frac{10 \times 8}{2} = 40 \text{ cm}^2\]
3. Figuras Circulares
| Figura | Fórmula | |
|---|---|---|
| Círculo | \(A = | pi r^2\) |
| Sector circular | \(A = \frac{ heta}{360°} cdot | pi r^2\) (ángulo en grados) |
| Corona circular | \(A = | pi(R^2 - r^2)\) |
| Semicírculo | \(A = \frac{pi r^2}{2}\) |
Ejemplo: Círculo
Radio = 7 cm
\[A = ||pi \times 7^2 = 49pi approx 153.94 \text{ cm}^2\]
Ejemplo: Sector circular
Radio = 6 cm, Ángulo = 90°
\[A = \frac{90°}{360°} \times ||pi \times 6^2 = \frac{1}{4} \times 36pi = 9pi approx 28.27 \text{ cm}^2\]
Ejemplo: Corona circular
Radio exterior \(R = 15\) cm, Radio interior \(r = 10\) cm
\[A = ||pi(15^2 - 10^2) = ||pi(225 - 100) = 125pi approx 392.70 \text{ cm}^2\]
4. Polígonos Regulares
Para un polígono regular de n lados y lado a:
\[A = \frac{n \times a^2}{4 an(\frac{pi}{n})} quad \text{o} quad A = \frac{\text{perímetro} \times \text{apotema}}{2}\]
| Polígono | Ángulos interiores | Fórmula simplificada |
|---|---|---|
| Triángulo equilátero | 60° | \(A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) |
| Cuadrado | 90° | \(A = a^2\) |
| Hexágono regular | 120° | \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2\) |
Estrategias para Calcular Áreas
1. Descomposición en Figuras Simples
Dividir figuras complejas en figuras más simples cuyas áreas conocemos calcular:
Ejemplo: Figura en forma de L
Se puede dividir en dos rectángulos:
- Rectángulo superior: \(5 \times 3 = 15\) cm²
- Rectángulo inferior: \(3 \times 2 = 6\) cm²
- Total: \(15 + 6 = 21\) cm²
2. Método de Sustracción
Calcular el área de una figura grande y restar lo que no queremos:
Ejemplo: Rectángulo con círculo extraído
Rectángulo: \(10 \times 8 = 80\) cm² Círculo extraído (radio 2): \(pi \times 2^2 = 4pi approx 12.57\) cm² Área resultante: \(80 - 12.57 = 67.43\) cm²
3. Uso de Coordenadas
Para polígonos con vértices en coordenadas \((x_i, y_i)\):
\[A = \frac{1}{2}left|sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)
ight|\]
Ejemplos Resueltos Detallados
Ejemplo 1: Área de un Triángulo
Problema: Triángulo base y altura
Calcula el área de un triángulo con base 12 cm y altura 8 cm.
\[A = \frac{12 \times 8}{2} = \frac{96}{2} = 48 \text{ cm}^2\]
Ejemplo 2: Área de un Sector Circular
Problema: Sector de pizza
Una pizza circular tiene radio 20 cm. Se corta un sector de 45°. ¿Cuál es el área del sector?
\[A = \frac{45°}{360°} \times ||pi \times 20^2 = \frac{1}{8} \times 400pi = 50pi approx 157.08 \text{ cm}^2\]
Ejemplo 3: Figura Compuesta
Problema: Casa con tejado
Calcular área de una figura: rectángulo 10×6 cm + triángulo encima de base 10 cm y altura 4 cm
- Rectángulo: \(A_1 = 10 \times 6 = 60\) cm²
- Triángulo: \(A_2 = \frac{10 \times 4}{2} = 20\) cm²
- Total: \(A = 60 + 20 = 80\) cm²
Ejemplo 4: Corona Circular
Problema: Rueda con llanta
Una rueda tiene radio exterior 40 cm y un hueco interior de radio 30 cm. ¿Cuál es el área de la llanta?
\[A = ||pi(40^2 - 30^2) = ||pi(1600 - 900) = 700pi approx 2199.11 \text{ cm}^2\]
Aplicaciones Prácticas
Construcción y Arquitectura
Problema: Baldosas para piso
Una habitación rectangular mide 5 m × 4 m. Necesitas baldosas cuadradas de 0.5 m × 0.5 m. ¿Cuántas baldosas necesitas? Área habitación: \(5 \times 4 = 20\) m² Área baldosa: \(0.5 \times 0.5 = 0.25\) m² Número de baldosas: \(\frac{20}{0.25} = 80\) baldosas
Agricultura
Problema: Área de cultivo
Un campo tiene forma rectangular de 100 m × 80 m. Quieres plantar a razón de 5 plantas por m². ¿Cuántas plantas necesitas? Área: \(100 \times 80 = 8000\) m² Plantas: \(8000 \times 5 = 40,000\) plantas
Vida Cotidiana
Problema: Pintura de paredes
Una pared mide 4 m × 3 m. Una lata de pintura cubre 15 m². ¿Cuántas latas necesitas? Área pared: \(4 \times 3 = 12\) m² Latas: \(\frac{12}{15} approx 0.8\) latas (necesitas 1 lata)
Consejos para Resolver Problemas
- Identifica la figura: Reconoce qué tipo de figura es
- Encuentra los datos: Asegúrate de tener todas las medidas requeridas
- Selecciona la fórmula: Usa la fórmula correcta
- Sustituye valores: Reemplaza números en la fórmula
- Verifica unidades: El resultado debe estar en unidades cuadradas
- Comprueba: Verifica que el resultado sea razonable
- Para figuras complejas: Descompón en figuras simples o usa sustracción