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El Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más conocidos y útiles de la geometría. Establece una relación fundamental entre los lados de un triángulo rectángulo.
Enunciado del Teorema
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Donde:
- a y b son los catetos (lados que forman el ángulo recto)
- c es la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto, el más largo)
Componentes de un Triángulo Rectángulo
| Componente | Descripción |
|---|---|
| Ángulo recto | Un ángulo de exactamente 90° |
| Catetos | Los dos lados que forman el ángulo recto |
| Hipotenusa | El lado opuesto al ángulo recto, siempre es el más largo |
Formas del Teorema
| Situación | Fórmula |
|---|---|
| Calcular la hipotenusa | \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| Calcular cateto a | \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\) |
| Calcular cateto b | \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) |
Ejemplo: Calcular hipotenusa
Triángulo rectángulo con catetos \(a = 6\) cm y \(b = 8\) cm
\[c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\]
Ejemplo: Calcular un cateto
Hipotenusa \(c = 13\) cm, cateto \(a = 5\) cm
\[b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}\]
Verificar si un Triángulo es Rectángulo
Para comprobar si tres longitudes forman un triángulo rectángulo, verifica si cumplen \(a^2 + b^2 = c^2\):
Ejemplo: ¿Es 9, 12, 15 un triángulo rectángulo?
\[9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\]
\[15^2 = 225\]
Como \(225 = 225\), sí es un triángulo rectángulo ✓Ternas Pitagóricas
Las ternas pitagóricas son conjuntos de tres números enteros que satisfacen \(a^2 + b^2 = c^2\):
| Terna | Verificación |
|---|---|
| \((3, 4, 5)\) | \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) ✓ |
| \((5, 12, 13)\) | \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ✓ |
| \((8, 15, 17)\) | \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\) ✓ |
| \((7, 24, 25)\) | \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\) ✓ |
| \((6, 8, 10)\) | \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\) ✓ |
Aplicaciones Prácticas
Construcción y Arquitectura
Problema: Escuadra de constructor
Un constructor quiere verificar que una esquina es correcta (90°). Mide:
- Uno lado: 3 m
- Otro lado: 4 m
- Diagonal: 5 m
Navegación y Geografía
Problema: Distancia en un mapa
Dos ciudades están separadas:
- 30 km al norte
- 40 km al este
\[d = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ km}\]
Vida Cotidiana
Problema: Escalera apoyada en una pared
Una escalera de 5 m se apoya en una pared. La base está a 3 m de la pared. ¿A qué altura toca la pared? Usando Pitágoras: \(a^2 + 3^2 = 5^2\)
\[a^2 = 25 - 9 = 16\]
\[a = 4 \text{ m}\]
La escalera toca la pared a 4 metros de altura.Ejemplos Resueltos Detallados
Ejemplo 1: Calcular la Hipotenusa
Problema: Catetos de 6 cm y 8 cm
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Datos: \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm Aplicar teorema: \(c^2 = a^2 + b^2\)
\[c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\]
\[c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\]
Ejemplo 2: Calcular un Cateto
Problema: Escalera en pared
Una escalera de 5 m se apoya en una pared. Si la base está a 3 m de la pared, ¿a qué altura llega? Datos: \(c = 5\) m (escalera), \(b = 3\) m (distancia pared) Necesitamos: \(a\) (altura)
\[a^2 = c^2 - b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\]
\[a = \sqrt{16} = 4 \text{ m}\]
Ejemplo 3: Verificar Triángulo Rectángulo
Problema: ¿Forman triángulo rectángulo?
¿Los lados 9, 12 y 15 forman un triángulo rectángulo? Verificar: \(9^2 + 12^2 = 15^2\)?
\[81 + 144 = 225\]
\[225 = 225\]
✓ Sí forman un triángulo rectángulo.Distancia entre Dos Puntos
El teorema de Pitágoras se puede aplicar para calcular distancias en el plano cartesiano:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
Ejemplo: Distancia entre puntos
Calcular la distancia entre \(A(0, 0)\) y \(B(9, 12)\)
\[d = \sqrt{(9 - 0)^2 + (12 - 0)^2}\]
\[d = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ unidades}\]
Historia y Contexto
Aunque el teorema lleva el nombre de Pitágoras (c. 570-495 a.C.), esta relación era conocida por civilizaciones anteriores como los babilonios y egipcios. Pitágoras y su escuela fueron los primeros en proporcionar una demostración matemática rigurosa del teorema.
Demostraciones Visuales
Una de las demostraciones más elegantes utiliza cuatro triángulos rectángulos idénticos dispuestos dentro de un cuadrado grande. El área no cubierta por los triángulos en el cuadrado es igual al cuadrado del cateto mayor (o suma de cuadrados), demostrando visualmente que \(a^2 + b^2 = c^2\).
Casos Especiales
Triángulo 45-45-90
En un triángulo rectángulo isósceles con ángulos de 45°:
- Si los catetos miden \(a\), la hipotenusa mide \(a\sqrt{2}\)
Triángulo 30-60-90
En un triángulo rectángulo con ángulos 30° y 60°:
- Si el cateto opuesto a 30° mide \(a\), el cateto opuesto a 60° mide \(a\sqrt{3}\)
- La hipotenusa mide \(2a\)