Volumen de figuras 3D

Teoría Ejercicios

Volumen de Figuras Tridimensionales (3D)

El volumen es la medida del espacio tridimensional que ocupa un cuerpo geométrico. Se expresa en unidades cúbicas y es fundamental para calcular capacidades, cantidades de materiales y espacios ocupados.

Concepto de Volumen

El volumen representa la cantidad de espacio que un objeto ocupa en tres dimensiones. A diferencia del área (2D) y la longitud (1D), el volumen es una magnitud tridimensional que se mide en unidades como cm³, m³, litros, etc.

Unidades de Volumen

Unidades del Sistema Métrico

Unidad	Símbolo	Equivalencia
Milímetro cúbico	mm³	\(10^{-9}\) m³
Centímetro cúbico	cm³	\(10^{-6}\) m³
Decímetro cúbico	dm³	1 litro
Metro cúbico	m³	Unidad SI
Kilómetro cúbico	km³	\(10^9\) m³

Conversiones Importantes

Equivalencia
\(1 \text{ m}^3 = 1,000 \text{ dm}^3 = 1,000 \text{ litros}\)
\(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litro} = 1,000 \text{ cm}^3\)
\(1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ ml}\) (mililitro)

Fórmulas de Volúmenes - Prismas

Prisma General

\[V = \text{Área de la base} \times \text{Altura}\]

Cubo

\[V = a^3\]

donde \(a\) es la arista (todos los lados iguales)

Ejemplo: Cubo de arista 5 cm

\[V = 5^3 = 125 \text{ cm}^3\]

Paralelepípedo (Prisma Rectangular)

\[V = l \times w \times h\]

donde \(l\) = largo, \(w\) = ancho, \(h\) = altura

Ejemplo: Caja 30 × 20 × 15 cm

\[V = 30 \times 20 \times 15 = 9,000 \text{ cm}^3 = 9 \text{ litros}\]

Prisma Triangular

\[V = \frac{b \times h_{\text{base}}}{2} \times H\]

donde \(b, h_{\text{base}}\) forman el triángulo de la base, \(H\) = altura del prisma

Fórmulas de Volúmenes - Pirámides

Pirámide General

\[V = \frac{1}{3} \times \text{Área de la base} \times \text{Altura}\]

Pirámide Cuadrangular

\[V = \frac{1}{3} \times a^2 \times h\]

donde \(a\) = lado de la base cuadrada, \(h\) = altura

Ejemplo: Base cuadrada 8 m, altura 12 m

\[V = \frac{1}{3} \times 8^2 \times 12 = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \text{ m}^3\]

Pirámide Triangular (Tetraedro)

\[V = \frac{1}{3} \times \frac{b \times h_{\text{base}}}{2} \times H\]

Fórmulas de Volúmenes - Cuerpos de Revolución

Cilindro

\[V = ||pi r^2 h\]

donde \(r\) = radio de la base, \(h\) = altura

Ejemplo: Tanque cilíndrico, diámetro 2 m, altura 3 m

Radio = \(1\) m

\[V = ||pi \times 1^2 \times 3 = 3pi approx 9.42 \text{ m}^3 = 9,420 \text{ litros}\]

Cono

\[V = \frac{1}{3} ||pi r^2 h\]

donde \(r\) = radio de la base, \(h\) = altura

Ejemplo: Cono, radio 5 cm, altura 12 cm

\[V = \frac{1}{3} ||pi \times 5^2 \times 12 = \frac{1}{3} ||pi \times 25 \times 12 = 100pi approx 314 \text{ cm}^3\]

Esfera

\[V = \frac{4}{3} ||pi r^3\]

donde \(r\) = radio

Ejemplo: Esfera de radio 6 cm

\[V = \frac{4}{3} ||pi \times 6^3 = \frac{4}{3} ||pi \times 216 = 288pi approx 904.78 \text{ cm}^3\]

Tronco de Cono

\[V = \frac{1}{3} ||pi h (R^2 + Rr + r^2)\]

donde \(R, r\) = radios de las bases, \(h\) = altura

Relaciones entre Volúmenes

Proporcionalidad con las Dimensiones

Cuando escalamos un objeto por un factor \(k\) en todas sus dimensiones, su volumen se multiplica por \(k^3\):

\[V_{\text{nuevo}} = k^3 \times V_{\text{original}}\]

Ejemplo: Duplicar dimensiones

Si duplicamos todas las dimensiones (\(k = 2\)):

\[V_{\text{nuevo}} = 2^3 \times V_{\text{original}} = 8 \times V_{\text{original}}\]

Relaciones Importantes de Volúmenes

Relación	Fórmula
Cono vs Cilindro	\(V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} V_{\text{cilindro}}\)
Pirámide vs Prisma	\(V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} V_{\text{prisma}}\)
Esfera vs Cilindro	\(V_{\text{esfera}} = \frac{2}{3} V_{\text{cilindro circunscrito}}\)

Estrategias para Calcular Volúmenes

Descomposición en Figuras Simples

Dividir cuerpos complejos en formas geométricas simples cuyo volumen es conocido:

Ejemplo: Casa con techo piramidal

Volumen del cubo base: \(l \times w \times h_1\)
Volumen del techo piramidal: \(\frac{1}{3} \times l \times w \times h_2\)
Volumen total: suma de ambos

Método de Sustracción

Calcular el volumen de un cuerpo grande y restar los volúmenes de las partes huecas:

Ejemplo: Tubo hueco

Volumen cilindro exterior: \(pi R^2 h\)
Volumen cilindro interior: \(pi r^2 h\)
Volumen de la pared: \(pi h(R^2 - r^2)\)

Aplicaciones Prácticas

Construcción y Arquitectura

Problema: Hormigón para cimiento

Un cimiento rectangular mide 10 m × 8 m × 0.5 m. ¿Cuántos m³ de hormigón se necesitan?

\[V = 10 \times 8 \times 0.5 = 40 \text{ m}^3\]

Industria y Manufactura

Capacidad de contenedores
Volumen de producción
Cálculo de pesos por densidad
Empaque y almacenamiento

Ciencias y Medicina

Dosificación de medicamentos
Volúmenes corporales
Capacidad pulmonar
Análisis químicos

Vida Cotidiana

Problema: Agua para piscina

Una piscina mide 10 m × 5 m × 2 m de profundidad. ¿Cuántos litros de agua cabe?

\[V = 10 \times 5 \times 2 = 100 \text{ m}^3 = 100,000 \text{ litros}\]

Ejemplos Resueltos Completos

Ejemplo 1: Paralelepípedo

Problema: Caja rectangular

Una caja mide 30 cm de largo, 20 cm de ancho y 15 cm de alto.

\[V = 30 \times 20 \times 15 = 9,000 \text{ cm}^3\]

Ejemplo 2: Cilindro

Problema: Tanque cilíndrico

Diámetro 2 m, altura 3 m. Radio = 1 m

\[V = ||pi \times 1^2 \times 3 = 3pi approx 9.42 \text{ m}^3\]

Ejemplo 3: Pirámide

Problema: Pirámide cuadrangular

Base 8 m × 8 m, altura 12 m Área base = \(8^2 = 64\) m²

\[V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \text{ m}^3\]

Ejemplo 4: Esfera

Problema: Esfera de radio 6 cm