Conjuntos: Unión, Intersección y Diferencia

Teoría de Conjuntos

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos. Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas ($A$, $B$, ...) y sus elementos entre llaves.

$$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$

Notación y relaciones básicas

Pertenencia

$$ x \in A \quad \text{(x pertenece a A)} $$

$$ x \notin A \quad \text{(x no pertenece a A)} $$

Inclusión

$$ A \subseteq B \quad \text{(A está incluido en B: todo elemento de A está en B)} $$

$$ A \subset B \quad \text{(A es subconjunto propio de B: A ⊆ B y A ≠ B)} $$

Conjunto vacío

$$ \emptyset = \{\} \quad \text{(no contiene elementos)} $$

El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto: $\emptyset \subseteq A$

Conjunto universal

$U$ o $E$: el conjunto que contiene todos los elementos bajo estudio en un contexto dado.

Representación de conjuntos

Por extensión: listando todos los elementos: $A = \{2, 4, 6, 8\}$
Por comprensión: describiendo la propiedad: $A = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ es par y } x < 10\}$

Operaciones con conjuntos

Unión ($A \cup B$)

Elementos que están en A, en B, o en ambos:

$$ A \cup B = \{x : x \in A \text{ o } x \in B\} $$

$A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 4, 5\}$

$A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 4, 5\}$ $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Intersección ($A \cap B$)

Elementos que están en A y en B simultáneamente:

$$ A \cap B = \{x : x \in A \text{ y } x \in B\} $$

$A \cap B = \{3\}$

Si $A \cap B = \emptyset$, los conjuntos son disjuntos.

Diferencia ($A - B$ o $A \setminus B$)

Elementos que están en A pero no en B:

$$ A - B = \{x : x \in A \text{ y } x \notin B\} $$

$A - B = \{1, 2\}$, $\quad B - A = \{4, 5\}$

Atención: la diferencia no es conmutativa: $A - B \neq B - A$ en general.

Complementario ($A^c$ o $\overline{A}$)

Elementos del universo $U$ que no están en A:

$$ A^c = U - A = \{x \in U : x \notin A\} $$

Propiedades de las operaciones

Propiedad	Unión	Intersección
Conmutativa	$A \cup B = B \cup A$	$A \cap B = B \cap A$
Asociativa	$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$	$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
Distributiva	$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$	$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
De Morgan	$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$	$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Cardinalidad

El cardinal de un conjunto $|A|$ es el número de elementos que contiene.

Principio de inclusión-exclusión

A \cup B	=	A	+	B	-	A \cap B

$|A| = 8$, $|B| = 6$, $|A \cap B| = 2$

$|A| = 8$, $|B| = 6$, $|A \cap B| = 2$ $|A \cup B| = 8 + 6 - 2 = 12$

Para tres conjuntos:

A \cup B \cup C	=	A	+	B	+	C	-	A \cap B	-	A \cap C	-	B \cap C	+	A \cap B \cap C