Proposiciones Lógicas
Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no las dos cosas a la vez.
Ejemplos de proposiciones:
- "2 + 2 = 4" → Verdadero
- "Madrid es la capital de Francia" → Falso
- "$\sqrt{2}$ es racional" → Falso
[No son proposiciones:]
- "¿Cuánto es 3 + 5?" (pregunta)
- "$x > 3$" (depende del valor de $x$, es un predicado)
- "¡Qué calor!" (exclamación)
Conectores lógicos
Los conectores lógicos permiten combinar proposiciones para formar proposiciones compuestas.
Negación ($\neg$, "no")
Invierte el valor de verdad.
| $p$ | $\neg p$ |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Conjunción ($\land$, "y")
Solo es verdadera si ambas son verdaderas.
| $p$ | $q$ | $p \land q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Disyunción ($\lor$, "o")
Es verdadera si al menos una es verdadera.
| $p$ | $q$ | $p \lor q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Implicación ($\Rightarrow$, "si... entonces")
Solo es falsa cuando la hipótesis $p$ es verdadera y la conclusión $q$ es falsa.
| $p$ | $q$ | $p \Rightarrow q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
"Si un número es par, entonces es divisible entre 2" → V
"Si un número es par, entonces es divisible entre 2" → V "Si 4 es primo, entonces 4 > 10" → V (hipótesis falsa → siempre verdadero)
Equivalencia ($\Leftrightarrow$, "si y solo si")
Verdadera cuando ambas tienen el mismo valor de verdad.
| $p$ | $q$ | $p \Leftrightarrow q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Prioridad de conectores
De mayor a menor prioridad: 1. $\neg$ (negación) 2. $\land$ (conjunción) 3. $\lor$ (disyunción) 4. $\Rightarrow$ (implicación) 5. $\Leftrightarrow$ (equivalencia)
Tautología y contradicción
- Tautología: siempre verdadera, sea cual sea el valor de las proposiciones simples. Ejemplo: $p \lor \neg p$
- Contradicción: siempre falsa. Ejemplo: $p \land \neg p$
- Contingencia: puede ser V o F según los valores.
Leyes de De Morgan
La negación de "llueve y hace frío" es "no llueve o no hace frío".
La negación de "llueve y hace frío" es "no llueve o no hace frío".