Tablas de Verdad
Una tabla de verdad es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta para todas las combinaciones posibles de valores de sus proposiciones simples.
Número de filas
Para una proposición con $n$ variables, la tabla tiene $2^n$ filas.
| Variables | Filas |
|---|---|
| 1 | $2^1 = 2$ |
| 2 | $2^2 = 4$ |
| 3 | $2^3 = 8$ |
Cómo construir una tabla de verdad
Paso 1: Escribe las variables y alterna V/F sistemáticamente.
- Última columna: alterna V, F, V, F...
- Penúltima: alterna VV, FF, VV, FF...
- Y así sucesivamente.
Paso 2: Calcula las subexpresiones de menor a mayor complejidad.
Paso 3: Evalúa la expresión final.
$(p \land q) \Rightarrow (p \lor q)$
| $p$ | $q$ | $p \land q$ | $p \lor q$ | $(p \land q) \Rightarrow (p \lor q)$ |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | V |
| F | V | F | V | V |
| F | F | F | F | V |
¡Es una tautología!
$\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \land \neg q$
| $p$ | $q$ | $p \Rightarrow q$ | $\neg(p \Rightarrow q)$ | $\neg q$ | $p \land \neg q$ |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F |
| V | F | F | V | V | V |
| F | V | V | F | F | F |
| F | F | V | F | V | F |
Las columnas 4 y 6 son iguales → son equivalentes lógicamente
Equivalencias lógicas importantes
Dos proposiciones son lógicamente equivalentes ($p \equiv q$) si tienen la misma tabla de verdad.
| Nombre | Equivalencia |
|---|---|
| Doble negación | $\neg(\neg p) \equiv p$ |
| De Morgan 1 | $\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$ |
| De Morgan 2 | $\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$ |
| Contrarrecíproca | $p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p$ |
| Implicación como disyunción | $p \Rightarrow q \equiv \neg p \lor q$ |
| Conmutatividad | $p \land q \equiv q \land p$ |
| Distributividad | $p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$ |
Formas derivadas de la implicación
Dada la implicación $p \Rightarrow q$:
| Forma | Enunciado | Equivalente a |
|---|---|---|
| Directa | $p \Rightarrow q$ | — |
| Recíproca | $q \Rightarrow p$ | No equivalente |
| Contraria | $\neg p \Rightarrow \neg q$ | No equivalente |
| Contrarrecíproca | $\neg q \Rightarrow \neg p$ | Sí equivalente |
Directa: "Si llueve, la calle está mojada"
Directa: "Si llueve, la calle está mojada" Contrarrecíproca: "Si la calle no está mojada, no ha llovido" ← equivalente Recíproca: "Si la calle está mojada, ha llovido" ← NO equivalente (puede haber otra causa)
Aplicaciones
Las tablas de verdad se usan en:
- Programación: operadores lógicos en condiciones (AND, OR, NOT)
- Circuitos digitales: puertas lógicas
- Argumentación: verificar si un argumento es válido (tautología)