Derivadas de Funciones

La derivada de una función en un punto mide la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.

Definición de Derivada

La derivada de f(x) en x = a es:

\(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)

También puede expresarse como:

\(f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\)

Interpretaciones de la Derivada

Interpretación Geométrica

La derivada f'(a) representa la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)).

Interpretación Física

• Velocidad: Si s(t) es la posición, entonces v(t) = s'(t) es la velocidad
• Aceleración: a(t) = v'(t) = s''(t)
• Tasa de cambio: En cualquier magnitud que cambie con el tiempo

Continuidad y Derivabilidad

Relación entre Continuidad y Derivabilidad

|

Función | Continua en a | Derivable en a

| f(x) = x² | Sí | Sí

| f(x) = |x| en x = 0 | Sí | No

| f(x) = 1/x en x = 0 | No | No

Teorema Fundamental

Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.

El recíproco no es cierto: la continuidad no implica derivabilidad.

Reglas de Derivación

Reglas Básicas

• Constante: (k)' = 0
• Potencia: (x^n)' = n·x^(n-1)
• Suma: (f + g)' = f' + g'
• Producto por constante: (k·f)' = k·f'

Reglas del Producto y Cociente

\(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'\)

\(\left( \frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\)

Regla de la Cadena

\(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)

Derivadas de Funciones Elementales

|

Función | Derivada

| sen x | cos x

| cos x | -sen x

| tan x | sec² x = 1 + tan² x

| ln x | 1/x

| e^x | e^x

| a^x | a^x · ln a

Teoremas Fundamentales

Teorema de Rolle

Si f cumple:

• f es continua en [a,b]
• f es derivable en (a,b)
• f(a) = f(b)

Entonces existe al menos un c ∈ (a,b) tal que f'(c) = 0.

Teorema del Valor Medio (Lagrange)

Si f cumple:

• f es continua en [a,b]
• f es derivable en (a,b)

Entonces existe al menos un c ∈ (a,b) tal que:

\(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)

Teorema de Cauchy

Si f y g cumplen las condiciones del teorema del valor medio y g'(x) ≠ 0 en (a,b), entonces:

\( \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)

Aplicaciones de las Derivadas

Monotonía de Funciones

Criterio de la Primera Derivada

• Si f'(x) > 0 en (a,b): f es creciente en (a,b)
• Si f'(x) < 0 en (a,b): f es decreciente en (a,b)
• Si f'(x) = 0 en (a,b): f es constante en (a,b)

Extremos Relativos

Condición Necesaria

Si f tiene un extremo relativo en x = a, entonces f'(a) = 0 o f'(a) no existe.

Criterio de la Primera Derivada para Extremos

Si f'(a) = 0:

• Máximo relativo: f'(x) cambia de + a - al pasar por a
• Mínimo relativo: f'(x) cambia de - a + al pasar por a
• No hay extremo: f'(x) no cambia de signo

Curvatura y Puntos de Inflexión

Criterio de la Segunda Derivada

• Si f''(x) > 0: f es cóncava hacia arriba (convexa)
• Si f''(x) < 0: f es cóncava hacia abajo (cóncava)

Puntos de Inflexión

Un punto donde f''(x) = 0 y f'' cambia de signo es un punto de inflexión.

Criterio de la Segunda Derivada para Extremos

Si f'(a) = 0:

• Si f''(a) > 0: a es un mínimo relativo
• Si f''(a) < 0: a es un máximo relativo
• Si f''(a) = 0: el criterio no decide

Problemas de Optimización

Metodología General

• Identificar la variable a optimizar
• Expresar esta variable como función de una variable independiente
• Determinar el dominio de la función
• Encontrar los puntos críticos (f'(x) = 0)
• Evaluar la función en los puntos críticos y extremos del dominio
• Comparar valores para encontrar el óptimo

Ejemplo Práctico Completo

Ejemplo: Optimización y análisis completo Problema: Analizar completamente f(x) = x³ - 3x² + 2

1. Dominio: ℝ (toda la recta real) 2. Derivadas:

• f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
• f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)

3. Puntos críticos:

f'(x) = 0 ⟹ 3x(x - 2) = 0 ⟹ x = 0, x = 2

4. Monotonía:

• x ∈ (-∞, 0): f'(x) > 0 ⟹ f creciente
• x ∈ (0, 2): f'(x) < 0 ⟹ f decreciente
• x ∈ (2, ∞): f'(x) > 0 ⟹ f creciente

5. Extremos relativos:

• x = 0: máximo relativo, f(0) = 2
• x = 2: mínimo relativo, f(2) = -2

6. Curvatura:

• x ∈ (-∞, 1): f''(x) < 0 ⟹ cóncava hacia abajo
• x ∈ (1, ∞): f''(x) > 0 ⟹ cóncava hacia arriba

7. Punto de inflexión:

x = 1, f(1) = 0 (punto de inflexión)

8. Comportamiento en los extremos:

• lím f(x) = -∞ cuando x → -∞
• lím f(x) = +∞ cuando x → +∞

Aplicaciones Prácticas

• Física: Velocidad, aceleración, optimización de trayectorias
• Economía: Costos marginales, maximización de beneficios
• Ingeniería: Diseño óptimo, control de procesos
• Biología: Tasas de crecimiento, modelos poblacionales
• Arquitectura: Formas óptimas, resistencia de materiales

Tipos de Problemas de Optimización

• Áreas y volúmenes máximos/mínimos: Cajas, cilindros, conos
• Distancias mínimas: Entre puntos y curvas
• Tiempo mínimo: Problemas de trayectorias
• Costos mínimos: Optimización económica
• Rendimiento máximo: Eficiencia de procesos

Herramientas de Análisis

• Tabla de variación: Resumen del comportamiento de la función
• Gráfica: Representación visual del análisis
• Límites: Comportamiento asintótico
• Derivadas sucesivas: Información sobre curvatura