Determinantes

El determinante es un número asociado a toda matriz cuadrada que proporciona información importante sobre las propiedades de la matriz. Se denota como det(A) o |A|.

Determinante de Matrices 2×2

Para una matriz 2×2:

\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)

El determinante es:

\(|A| = ad - bc\)

Determinante de Matrices 3×3

Regla de Sarrus

Para una matriz 3×3:

\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)

Se añaden las dos primeras columnas a la derecha y se calculan:

• Diagonales principales (positivas): a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂
• Diagonales secundarias (negativas): a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₁a₃₃

\(|A| = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})\)

Desarrollo por Adjuntos (Cofactores)

Para matrices de cualquier orden, se puede calcular el determinante desarrollando por una fila o columna:

\(|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij}\)

Donde \(A_{ij}\) es el adjunto (cofactor) del elemento \(a_{ij}\):

\(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\)

Y \(M_{ij}\) es el menor complementario (determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila \( i \) y columna \( j \)).

Propiedades de los Determinantes

• Determinante de la matriz identidad: det(I) = 1
• Intercambio de filas: Si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo
• Fila nula: Si una fila es nula, det(A) = 0
• Filas proporcionales: Si dos filas son proporcionales, det(A) = 0
• Multiplicación por escalar: Si se multiplica una fila por k, det(A) queda multiplicado por k
• Suma de filas: Si a una fila se le suma otra multiplicada por un escalar, el determinante no cambia
• Producto de determinantes: det(AB) = det(A)·det(B)
• Determinante de la traspuesta: det(A^T) = det(A)
• Determinante de la inversa: det(A^{-1}) = 1/det(A)

Cálculo del Rango mediante Determinantes

El rango de una matriz es el orden del mayor menor que tiene determinante no nulo. Para calcularlo:

• Se calculan todos los menores de orden 1 (los elementos)
• Si alguno es no nulo, el rango es al menos 1
• Se calculan los menores de orden 2
• Si alguno es no nulo, el rango es al menos 2
• Se continúa hasta encontrar el mayor orden con determinante no nulo

Matriz Inversa y Determinantes

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. La matriz inversa se puede calcular usando:

\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)\)

Donde Adj(A) es la matriz adjunta (traspuesta de la matriz de cofactores).

Ejemplo Práctico

Ejemplo completo Calcular el determinante de:

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)

Método 1: Regla de Sarrus

Añadimos las dos primeras columnas:

\(\begin{array}{ccc|cc} 2 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3 & 1 \end{array}\)

Diagonales principales: 2·2·2 + 1·1·3 + 3·1·1 = 8 + 3 + 3 = 14

Diagonales secundarias: 3·2·3 + 2·1·1 + 1·1·2 = 18 + 2 + 2 = 22

det(A) = 14 - 22 = -8

Método 2: Desarrollo por la primera fila

\(|A| = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\)

= 2(2·2 - 1·1) - 1(1·2 - 1·3) + 3(1·1 - 2·3)

= 2(4 - 1) - 1(2 - 3) + 3(1 - 6)

= 2(3) - 1(-1) + 3(-5)

= 6 + 1 - 15 = -8

Aplicaciones de los Determinantes

• Sistemas de ecuaciones: Regla de Cramer para resolver sistemas lineales
• Geometría: Cálculo de áreas y volúmenes
• Transformaciones lineales: El determinante indica el factor de escala del volumen
• Valores y vectores propios: Ecuación característica det(A - λI) = 0
• Orientación: El signo del determinante indica orientación en transformaciones

Regla de Cramer

Para un sistema de ecuaciones AX = B donde det(A) ≠ 0, la solución es:

\(x_i = \frac{|A_i|}{|A|}\)

Donde A_i es la matriz que resulta de sustituir la columna i-ésima de A por el vector B.