Distancias en el Espacio

El cálculo de distancias es fundamental en la geometría del espacio. Distinguimos varios tipos según los elementos involucrados.

Distancia entre Dos Puntos

La distancia entre dos puntos A(x₁, y₁, z₁) y B(x₂, y₂, z₂) es:

\(d(A,B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)

Distancia de un Punto a una Recta

Para calcular la distancia de un punto P₀ a una recta r que pasa por A con vector director d⃗:

\(d(P_0, r) = \frac{|\overrightarrow{AP_0} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}\)

Método alternativo:

• Encontrar el punto H (pie de la perpendicular) de P₀ sobre r
• Calcular d(P₀, H)

Distancia de un Punto a un Plano

Para un punto P₀(x₀, y₀, z₀) y un plano π: Ax + By + Cz + D = 0:

\(d(P_0, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

Distancia entre Dos Rectas

Rectas Paralelas

Si r₁ ∥ r₂, la distancia es la distancia de cualquier punto de una recta a la otra.

Rectas Secantes

Si r₁ y r₂ se cortan, d(r₁, r₂) = 0.

Rectas Cruzadas

Para rectas r₁ (punto A₁, director d⃗₁) y r₂ (punto A₂, director d⃗₂):

\(d(r_1, r_2) = \frac{|[\vec{d_1}, \vec{d_2}, \overrightarrow{A_1A_2}]|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}\)

Distancia entre Recta y Plano

Recta Paralela al Plano

La distancia es la distancia de cualquier punto de la recta al plano.

Recta Secante al Plano

Si la recta corta al plano, d(r, π) = 0.

Distancia entre Dos Planos

Planos Paralelos

Para planos π₁: Ax + By + Cz + D₁ = 0 y π₂: Ax + By + Cz + D₂ = 0:

\(d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

Planos Secantes

Si los planos se cortan, d(π₁, π₂) = 0.

Cálculo de Áreas

Área de un Triángulo

Para un triángulo con vértices A, B, C:

\( \text{Área} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|\)

Área de un Paralelogramo

Para un paralelogramo formado por vectores u⃗ y v⃗:

\( \text{Área} = |\vec{u} \times \vec{v}|\)

Área de un Polígono

Se puede dividir en triángulos y sumar sus áreas.

Cálculo de Volúmenes

Volumen de un Paralelepípedo

Para un paralelepípedo formado por vectores u⃗, v⃗ y w⃗:

\( \text{Volumen} = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|\)

Volumen de un Tetraedro

Para un tetraedro con vértices A, B, C, D:

\( \text{Volumen} = \frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|\)

Volumen de una Pirámide

Para una pirámide con base de área S y altura h:

\( \text{Volumen} = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\)

Problemas Especiales de Geometría

Simetrías

Punto Simétrico respecto a otro Punto

El simétrico de P respecto a Q es P' tal que Q es el punto medio de PP'.

Punto Simétrico respecto a una Recta

• Encontrar el plano perpendicular a la recta que pasa por P
• Hallar la intersección H del plano con la recta
• P' = P + 2·PH⃗

Punto Simétrico respecto a un Plano

• Encontrar la recta perpendicular al plano que pasa por P
• Hallar la intersección H de la recta con el plano
• P' = P + 2·PH⃗

Equidistancias

Encontrar el lugar geométrico de puntos equidistantes de dos elementos dados.

Mediatriz de un Segmento

Plano perpendicular al segmento en su punto medio.

Plano Bisector de dos Planos

Lugar geométrico de puntos equidistantes de dos planos secantes.

Rectas Apoyadas

Una recta está apoyada en otra si existe una perpendicular común a ambas.

Ejemplo Práctico Completo

Ejemplo: Cálculo integral de distancias y volúmenes Dados los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) y D(1,1,1):

1. Distancia entre A y B:

\(d(A,B) = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\)

2. Área del triángulo ABC:

Vectores: AB⃗ = (-1,1,0), AC⃗ = (-1,0,1)

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1,1,1)\)

\(|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}\)

\( \text{Área} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

3. Volumen del tetraedro ABCD:

Vector AD⃗ = (0,1,1)

\([\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(0-1) -1(-1-0) + 0 = 1 + 1 = 2\)

\( \text{Volumen} = \frac{|2|}{6} = \frac{1}{3}\)

4. Distancia del punto D al plano ABC:

Ecuación del plano ABC: x + y + z = 1

\(d(D, \text{plano}) = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|3-1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Aplicaciones Prácticas

• Arquitectura: Cálculo de espacios, volúmenes de edificios
• Ingeniería: Distancias de seguridad, optimización de rutas
• Navegación: Distancias mínimas entre trayectorias
• Astronomía: Distancias entre cuerpos celestes
• Robótica: Planificación de movimientos, evitación de obstáculos

Métodos de Resolución

• Método vectorial: Usando productos escalar, vectorial y mixto
• Método analítico: Coordenadas y fórmulas directas
• Método proyectivo: Proyecciones ortogonales
• Método paramétrico: Usando ecuaciones paramétricas