Variables Aleatorias y Distribuciones

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado de un experimento aleatorio. Las distribuciones de probabilidad describen cómo se distribuyen las probabilidades entre los posibles valores de la variable.

Tipos de Variables Aleatorias

Variables Aleatorias Discretas

Toman valores en un conjunto finito o numerable. Se caracterizan por su función de probabilidad.

Variables Aleatorias Continuas

Pueden tomar cualquier valor en un intervalo. Se caracterizan por su función de densidad.

Parámetros de las Distribuciones

Esperanza Matemática (Media)

Valor promedio que esperamos obtener:

\(E[X] = \mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \quad \text{(discreta)}\)

\(E[X] = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \quad \text{(continua)}\)

Varianza

Medida de la dispersión de los datos:

\(Var(X) = \sigma^2 = E[(X - \mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2\)

Desviación Típica

\(\sigma = \sqrt{Var(X)}\)

Distribuciones Discretas

Distribución Binomial B(n,p)

Características

• n ensayos independientes
• Cada ensayo tiene dos resultados: éxito (probabilidad p) o fracaso (probabilidad 1-p)
• La probabilidad p permanece constante
• X = número de éxitos en n ensayos

Función de Probabilidad

\(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \quad k = 0, 1, 2, ..., n\)

Parámetros

• Esperanza: E[X] = np
• Varianza: Var(X) = np(1-p)
• Desviación típica: σ = √(np(1-p))

Ejemplos de Aplicación

• Número de caras en n lanzamientos de moneda
• Número de productos defectuosos en una muestra
• Número de respuestas correctas en un test de verdadero/falso

Distribución de Poisson Po(λ)

Características

• Modela eventos raros en un intervalo de tiempo o espacio
• Los eventos ocurren independientemente
• La tasa promedio es constante (λ)

Función de Probabilidad

\(P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad k = 0, 1, 2, ...\)

Parámetros

• Esperanza: E[X] = λ
• Varianza: Var(X) = λ
• Desviación típica: σ = √λ

Ejemplos de Aplicación

• Número de llamadas telefónicas por hora
• Número de accidentes por día
• Número de errores tipográficos por página

Distribuciones Continuas

Distribución Normal N(μ,σ²)

Características

• Forma de campana (campana de Gauss)
• Simétrica respecto a la media μ
• Asintótica al eje X
• Unimodal (un solo máximo en μ)

Función de Densidad

\(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

Parámetros

• Esperanza: E[X] = μ
• Varianza: Var(X) = σ²
• Desviación típica: σ

Propiedades Importantes

• Aproximadamente 68% de los datos en μ ± σ
• Aproximadamente 95% de los datos en μ ± 2σ
• Aproximadamente 99.7% de los datos en μ ± 3σ

Distribución Normal Estándar N(0,1)

Tipificación

Si X ~ N(μ,σ²), entonces:

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)\)

Función de Distribución

Φ(z) = P(Z ≤ z) se obtiene de tablas o calculadoras.

Propiedades de Φ(z)

• Φ(0) = 0.5
• Φ(-z) = 1 - Φ(z)
• Φ(1.96) ≈ 0.975
• Φ(2.58) ≈ 0.995

Aproximaciones entre Distribuciones

Binomial → Normal

Si X ~ B(n,p) con n grande y np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5:

\(X \approx N(np, np(1-p))\)

Corrección por Continuidad

Al aproximar una distribución discreta con una continua:

• P(X = k) ≈ P(k-0.5 < Y < k+0.5)
• P(X ≤ k) ≈ P(Y < k+0.5)
• P(X ≥ k) ≈ P(Y > k-0.5)

Binomial → Poisson

Si X ~ B(n,p) con n grande, p pequeño y np = λ moderado:

\(X \approx Po(\lambda) \text{ donde } \lambda = np\)

Poisson → Normal

Si X ~ Po(λ) con λ grande (λ ≥ 30):

\(X \approx N(\lambda, \lambda)\)

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Distribución Binomial

Un estudiante responde al azar 10 preguntas de verdadero/falso. ¿Cuál es la probabilidad de acertar exactamente 7?

Modelo: X ~ B(10, 0.5) Calcular: P(X = 7)

\(P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.5)^7 (0.5)^3 = \binom{10}{7} (0.5)^{10}\)

\(= \frac{10!}{7!3!} \cdot \frac{1}{1024} = 120 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} \approx 0.117\)

Ejemplo 2: Distribución de Poisson

En una centralita llegan en promedio 3 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que en 2 minutos lleguen exactamente 5 llamadas?

Modelo: En 2 minutos, λ = 3 × 2 = 6 X ~ Po(6) Calcular: P(X = 5)

\(P(X = 5) = \frac{6^5 e^{-6}}{5!} = \frac{7776 \cdot e^{-6}}{120} \approx 0.161\)

Ejemplo 3: Distribución Normal

Las notas de un examen siguen N(65, 100). ¿Qué porcentaje de estudiantes obtiene nota entre 55 y 75?

Modelo: X ~ N(65, 100), σ = 10 Calcular: P(55 < X < 75) Tipificación:

\(z_1 = \frac{55-65}{10} = -1 \quad z_2 = \frac{75-65}{10} = 1\)

$\( P(55

Ejemplo 4: Aproximación Normal a Binomial

En una fábrica, el 5% de los productos son defectuosos. En un lote de 200 productos, ¿cuál es la probabilidad de encontrar más de 15 defectuosos?

Modelo exacto: X ~ B(200, 0.05) Parámetros: μ = np = 200 × 0.05 = 10, σ² = np(1-p) = 200 × 0.05 × 0.95 = 9.5 σ = √9.5 ≈ 3.08 Aproximación: X ≈ N(10, 9.5) Con corrección por continuidad:

\(P(X > 15) = P(X \geq 16) \approx P(Y > 15.5)\)

\(z = \frac{15.5-103.08 \approx 1.79\)

\(P(Z > 1.79) = 1 - \Phi(1.79) \approx 1 - 0.9633 = 0.0367\)

Tabla Resumen de Distribuciones

|

Distribución | Notación | Parámetros | E[X] | Var(X) | Aplicación típica

| Binomial | B(n,p) | n, p | np | np(1-p) | Número de éxitos en n ensayos

| Poisson | Po(λ) | λ | λ | λ | Eventos raros en tiempo/espacio

| Normal | N(μ,σ²) | μ, σ² | μ | σ² | Fenómenos naturales continuos

| Normal estándar

Aplicaciones Prácticas

Control de Calidad

• Binomial: Proporción de defectuosos en muestras
• Normal: Dimensiones de productos manufacturados

Medicina y Farmacia

• Binomial: Eficacia de tratamientos
• Poisson: Casos de enfermedad por período
• Normal: Valores biométricos (altura, peso)

Finanzas

• Normal: Rendimientos de inversiones
• Poisson: Número de impagos por período

Ingeniería

• Normal: Tolerancias en manufacturas
• Poisson: Fallos en sistemas

Estrategias de Resolución

Identificar el modelo

• ¿Es conteo de éxitos? → Binomial
• ¿Son eventos raros? → Poisson
• ¿Es variable continua? → Normal
• ¿Hay simetría natural? → Normal

Verificar condiciones

• Binomial: Ensayos independientes, p constante
• Poisson: Eventos independientes, tasa constante
• Normal: Variables continuas, simetría

Elegir método de cálculo

• Exacto: Fórmulas directas
• Aproximación: Cuando n es grande
• Tablas: Para distribución normal estándar
• Tecnología: Calculadoras, software

Consejos Prácticos

• Verificar siempre las condiciones del modelo
• Usar aproximaciones cuando sea apropiado
• No olvidar la corrección por continuidad
• Comprobar que las probabilidades sumen 1
• Interpretar los resultados en el contexto del problema
• Usar la simetría de la normal cuando sea posible