Cálculo Integral

El cálculo integral es la rama que estudia la integración, operación inversa a la derivación, con múltiples aplicaciones en el cálculo de áreas, volúmenes, trabajo, y muchos otros problemas.

Conceptos Fundamentales

Primitiva o Antiderivada

Una función F(x) es primitiva de f(x) si F'(x) = f(x).

Si F(x) es primitiva de f(x), entonces F(x) + C también lo es, donde C es una constante arbitraria.

Integral Indefinida

\(\int f(x) \, dx = F(x) + C\)

Representa el conjunto de todas las primitivas de f(x).

Integral Definida

\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)

Representa el área neta entre la curva y el eje X en el intervalo [a,b].

Teorema Fundamental del Cálculo

Primera Parte

Si f es continua en [a,b] y F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, entonces F'(x) = f(x).

Segunda Parte (Regla de Barrow)

Si f es continua en [a,b] y F es primitiva de f, entonces:

\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b\)

Integrales Inmediatas

|

Función | Integral

| ∫ k dx | kx + C

| ∫ xⁿ dx (n ≠ -1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C

| ∫ 1/x dx | ln|x| + C

| ∫ eˣ dx | eˣ + C

| ∫ aˣ dx | aˣ/ln(a) + C

| ∫ sen(x) dx | -cos(x) + C

| ∫ cos(x) dx | sen(x) + C

| ∫ sec²(x) dx | tan(x) + C

| ∫ cosec²(x) dx | -cot(x) + C

| ∫ 1/√(1-x²) dx | arcsen(x) + C

| ∫ 1/(1+x²) dx | arctan(x) + C

Propiedades de las Integrales

Linealidad

• ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx

Propiedades de la Integral Definida

• ∫ₐᵃ f(x) dx = 0
• ∫ₐᵇ f(x) dx = -∫ᵇₐ f(x) dx
• ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx
• Si f(x) ≥ 0 en [a,b], entonces ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0
• Si f(x) ≤ g(x) en [a,b], entonces ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx

Técnicas de Integración

1. Integración por Sustitución

Si u = g(x), entonces du = g'(x) dx

\(\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du\)

Ejemplo

∫ 2x(x² + 1)⁵ dx

Sustitución: u = x² + 1, du = 2x dx

\(\int 2x(x^2 + 1)^5 \, dx = \int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2 + 1)^6}{6} + C\)

2. Integración por Partes

Basada en la regla del producto para derivadas:

\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

Estrategia ILATE

Para elegir u, seguir el orden de prioridad:

• Inversas trigonométricas
• Logarítmicas
• Algebraicas
• Trigonométricas
• Exponenciales

Ejemplo

∫ x·eˣ dx

Elección: u = x (algebraica), dv = eˣ dx Derivadas: du = dx, v = eˣ

\(\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - \int e^x \, dx = x \cdot e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C\)

3. Integración de Funciones Racionales

Para ∫ P(x)/Q(x) dx, donde P(x) y Q(x) son polinomios:

Caso 1: grado(P) ≥ grado(Q)

Dividir P(x) entre Q(x) primero.

Caso 2: grado(P) < grado(Q)

Descomponer en fracciones parciales.

Tipos de Fracciones Parciales

• Factores lineales distintos: (x-a) → A/(x-a)
• Factores lineales repetidos: (x-a)ⁿ → A₁/(x-a) + A₂/(x-a)² + ... + Aₙ/(x-a)ⁿ
• Factores cuadráticos irreducibles: (x²+px+q) → (Ax+B)/(x²+px+q)

Ejemplo

∫ (2x+1)/((x-1)(x+2)) dx

Descomposición:

\( \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}\)

Resolviendo: 2x + 1 = A(x+2) + B(x-1)

Para x = 1: 3 = 3A → A = 1

Para x = -2: -3 = -3B → B = 1

\(\int \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)} \, dx = \int \frac{1}{x-1} \, dx + \int \frac{1}{x+2} \, dx = \ln|x-1| + \ln|x+2| + C\)

4. Integración Trigonométrica

Potencias de seno y coseno

• senⁿ(x), n impar: Reservar un sen(x) y usar sen²(x) = 1 - cos²(x)
• cosⁿ(x), n impar: Reservar un cos(x) y usar cos²(x) = 1 - sen²(x)
• Ambos pares: Usar identidades de ángulo doble

Identidades Útiles

• sen²(x) = (1 - cos(2x))/2
• cos²(x) = (1 + cos(2x))/2
• sen(x)cos(x) = sen(2x)/2

Aplicaciones de las Integrales

Cálculo de Áreas

Área bajo una curva

El área entre f(x) y el eje X en [a,b]:

\(A = \int_a^b |f(x)| \, dx\)

Área entre dos curvas

El área entre f(x) y g(x) en [a,b]:

\(A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx\)

Cálculo de Volúmenes

Método de los discos

Rotación alrededor del eje X:

\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)

Método de las arandelas

Entre dos curvas f(x) ≥ g(x) ≥ 0:

\(V = \pi \int_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) \, dx\)

Longitud de Arco

La longitud de la curva y = f(x) desde x = a hasta x = b:

\(L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx\)

Integrales Impropias

Con límites infinitos

\(\int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) \, dx\)

Con discontinuidades

Si f tiene discontinuidad en x = c ∈ (a,b):

\(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx\)

Ejemplos Prácticos

Área de una región

Calcular el área entre y = x² y y = 2x en [0,2]

1. Puntos de intersección:

x² = 2x → x² - 2x = 0 → x(x-2) = 0 → x = 0, x = 2

2. Determinar cuál función está arriba:

En x = 1: x² = 1, 2x = 2 → 2x > x² en (0,2)

3. Calcular el área:

\(A = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\)

Volumen de sólido de revolución

Volumen de y = √x rotando alrededor del eje X en [0,4]

\(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi\)

Estrategias de Resolución

Para elegir la técnica adecuada

• Verificar si es inmediata o casi inmediata
• Buscar patrones para sustitución
• Considerar integración por partes si hay productos
• Fracciones parciales para funciones racionales
• Técnicas trigonométricas para potencias de funciones trigonométricas

Consejos prácticos

• Simplificar la función antes de integrar
• Verificar el resultado derivando
• No olvidar la constante de integración
• En integrales definidas, evaluar cuidadosamente los límites
• Dibujar la región para problemas de áreas

Aplicaciones en Otras Disciplinas

• Física: Trabajo, momento, centro de masa
• Ingeniería: Análisis de estructuras, flujo de fluidos
• Economía: Excedente del consumidor, valor presente
• Biología: Crecimiento poblacional, farmacocinética
• Estadística: Distribuciones continuas, esperanza matemática