Límites de Funciones

El concepto de límite es fundamental en el análisis matemático y constituye la base del cálculo diferencial e integral.

Definición de Límite

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos:

\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)

Si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x - a| < δ, entonces |f(x) - L| < ε.

Tipos de Límites

Límites Finitos

• Límite en un punto: lím f(x) = L cuando x → a
• Límites laterales:

Límite por la izquierda: lím f(x) cuando x → a⁻

• Límite por la derecha: lím f(x) cuando x → a⁺

Límites Infinitos

• En un punto: lím f(x) = ±∞ cuando x → a
• En el infinito: lím f(x) = L cuando x → ±∞
• Límites infinitos en el infinito: lím f(x) = ±∞ cuando x → ±∞

Indeterminaciones

Las indeterminaciones son expresiones que no tienen un valor determinado:

|

Tipo | Forma | Métodos de Resolución

| Cociente | 0/0, ∞/∞ | L'Hôpital, factorización, racionalización

| Producto | 0 · ∞ | Convertir a cociente

| Diferencia | ∞ - ∞ | Factor común, racionalización

| Potencia | 0⁰, 1∞, ∞⁰ | Logaritmos, cambio de variable

Infinitésimos e Infinitos

Infinitésimos

Una función f(x) es un infinitésimo cuando x → a si lím f(x) = 0 cuando x → a.

##### Órdenes de Infinitésimos

Sean α(x) y β(x) infinitésimos cuando x → a:

• Mismo orden: si lím α(x)/β(x) = k ≠ 0
• α es de orden superior a β: si lím α(x)/β(x) = 0
• α es de orden inferior a β: si lím α(x)/β(x) = ∞
• Equivalentes: si lím α(x)/β(x) = 1

Infinitos

Una función f(x) es un infinito cuando x → a si lím |f(x)| = ∞ cuando x → a.

##### Órdenes de Infinitos

Se clasifican de manera similar a los infinitésimos, pero usando el comportamiento en el infinito.

Regla de L'Hôpital

Si lím f(x)/g(x) presenta una indeterminación 0/0 o ∞/∞ cuando x → a, y si existe lím f'(x)/g'(x), entonces:

\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

Condiciones para aplicar L'Hôpital

• Debe existir una indeterminación 0/0 o ∞/∞
• Las funciones deben ser derivables en un entorno del punto
• g'(x) ≠ 0 en un entorno del punto
• Debe existir el límite de f'(x)/g'(x)

Límites Fundamentales

Límites Trigonométricos

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\)

Límite del Número e

\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)

\(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e\)

Límites Logarítmicos y Exponenciales

\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)

Continuidad

Definición de Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si:

• f(a) existe (la función está definida en a)
• lím f(x) existe cuando x → a
• lím f(x) = f(a) cuando x → a

Tipos de Discontinuidades

Discontinuidad Evitable

Existe el límite pero f(a) no existe o lím f(x) ≠ f(a).

Discontinuidad de Salto

Los límites laterales existen pero son distintos.

Discontinuidad Esencial

Al menos uno de los límites laterales no existe o es infinito.

Propiedades de las Funciones Continuas

Operaciones con Funciones Continuas

Si f y g son continuas en a, entonces son continuas en a:

• f + g, f - g, f · g
• f/g (si g(a) ≠ 0)
• f ∘ g (composición)
• |f|, f^n

Continuidad en Intervalos

Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo.

Teoremas sobre Funciones Continuas

Teorema de Bolzano

Si f es continua en [a,b] y f(a) · f(b) < 0, entonces existe al menos un c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Weierstrass

Si f es continua en [a,b], entonces f alcanza su máximo y mínimo absolutos en el intervalo.

Teorema del Valor Intermedio

Si f es continua en [a,b] y k está entre f(a) y f(b), entonces existe c ∈ (a,b) tal que f(c) = k.

Ejemplo Práctico Completo

Ejemplo: Cálculo de límites y continuidad 1. Calcular lím (x² - 4)/(x - 2) cuando x → 2

Indeterminación 0/0. Factorizamos:

\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4\)

2. Calcular lím (e^x - 1)/(sin x) cuando x → 0

Indeterminación 0/0. Aplicamos L'Hôpital:

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\cos x} = \frac{1}{1} = 1\)

3. Estudiar la continuidad de f(x) = (x² - 1)/(x - 1) si x ≠ 1, f(1) = 3

• Para x ≠ 1: f es continua (función racional con denominador no nulo)
• En x = 1: lím f(x) = lím (x + 1) = 2 ≠ f(1) = 3
• Discontinuidad evitable en x = 1

4. Calcular lím x^(1/x) cuando x → ∞

Indeterminación ∞⁰. Usamos logaritmos:

\(\ln(x^{1/x}) = \frac{\ln x}{x}\)

Aplicando L'Hôpital a esta indeterminación ∞/∞:

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0\)

Por tanto: lím x^(1/x) = e⁰ = 1

Aplicaciones

• Física: Velocidad instantánea, aceleración
• Economía: Costos marginales, utilidad marginal
• Ingeniería: Análisis de estabilidad, control de procesos
• Biología: Tasas de crecimiento poblacional
• Informática: Análisis de algoritmos, complejidad computacional

Técnicas de Cálculo

• Factorización: Para eliminar indeterminaciones
• Racionalización: Para radicales
• Sustituciones: Cambios de variable apropiados
• Equivalencias: Uso de infinitésimos equivalentes
• Series de Taylor: Para funciones complicadas