Límites de Funciones

El concepto de límite es fundamental en el análisis matemático y constituye la base del cálculo diferencial e integral.

Definición de Límite

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos:

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

Si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x - a| < δ, entonces |f(x) - L| < ε.

Tipos de Límites

Límites Finitos

  • Límite en un punto: lím f(x) = L cuando x → a
  • Límites laterales:

Límite por la izquierda: lím f(x) cuando x → a⁻

  • Límite por la derecha: lím f(x) cuando x → a⁺

Límites Infinitos

  • En un punto: lím f(x) = ±∞ cuando x → a
  • En el infinito: lím f(x) = L cuando x → ±∞
  • Límites infinitos en el infinito: lím f(x) = ±∞ cuando x → ±∞

Indeterminaciones

Las indeterminaciones son expresiones que no tienen un valor determinado:

|

Tipo | Forma | Métodos de Resolución

| Cociente | 0/0, ∞/∞ | L'Hôpital, factorización, racionalización

| Producto | 0 · ∞ | Convertir a cociente

| Diferencia | ∞ - ∞ | Factor común, racionalización

| Potencia | 0⁰, 1∞, ∞⁰ | Logaritmos, cambio de variable

Infinitésimos e Infinitos

Infinitésimos

Una función f(x) es un infinitésimo cuando x → a si lím f(x) = 0 cuando x → a.

Órdenes de Infinitésimos

Sean α(x) y β(x) infinitésimos cuando x → a:

  • Mismo orden: si lím α(x)/β(x) = k ≠ 0
  • α es de orden superior a β: si lím α(x)/β(x) = 0
  • α es de orden inferior a β: si lím α(x)/β(x) = ∞
  • Equivalentes: si lím α(x)/β(x) = 1

Infinitos

Una función f(x) es un infinito cuando x → a si lím |f(x)| = ∞ cuando x → a.

Órdenes de Infinitos

Se clasifican de manera similar a los infinitésimos, pero usando el comportamiento en el infinito.

Regla de L'Hôpital

Si lím f(x)/g(x) presenta una indeterminación 0/0 o ∞/∞ cuando x → a, y si existe lím f'(x)/g'(x), entonces:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Condiciones para aplicar L'Hôpital

  • Debe existir una indeterminación 0/0 o ∞/∞
  • Las funciones deben ser derivables en un entorno del punto
  • g'(x) ≠ 0 en un entorno del punto
  • Debe existir el límite de f'(x)/g'(x)

Límites Fundamentales

Límites Trigonométricos

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

Límite del Número e

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$

Límites Logarítmicos y Exponenciales

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

Continuidad

Definición de Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si:

  • f(a) existe (la función está definida en a)
  • lím f(x) existe cuando x → a
  • lím f(x) = f(a) cuando x → a

Tipos de Discontinuidades

Discontinuidad Evitable

Existe el límite pero f(a) no existe o lím f(x) ≠ f(a).

Discontinuidad de Salto

Los límites laterales existen pero son distintos.

Discontinuidad Esencial

Al menos uno de los límites laterales no existe o es infinito.

Propiedades de las Funciones Continuas

Operaciones con Funciones Continuas

Si f y g son continuas en a, entonces son continuas en a:

  • f + g, f - g, f · g
  • f/g (si g(a) ≠ 0)
  • f ∘ g (composición)
  • |f|, f^n

Continuidad en Intervalos

Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo.

Teoremas sobre Funciones Continuas

Teorema de Bolzano

Si f es continua en [a,b] y f(a) · f(b) < 0, entonces existe al menos un c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Weierstrass

Si f es continua en [a,b], entonces f alcanza su máximo y mínimo absolutos en el intervalo.

Teorema del Valor Intermedio

Si f es continua en [a,b] y k está entre f(a) y f(b), entonces existe c ∈ (a,b) tal que f(c) = k.

Ejemplo Práctico Completo

Ejemplo: Cálculo de límites y continuidad 1. Calcular lím (x² - 4)/(x - 2) cuando x → 2

Indeterminación 0/0. Factorizamos:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

2. Calcular lím (e^x - 1)/(sin x) cuando x → 0

Indeterminación 0/0. Aplicamos L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\cos x} = \frac{1}{1} = 1$

3. Estudiar la continuidad de f(x) = (x² - 1)/(x - 1) si x ≠ 1, f(1) = 3

  • Para x ≠ 1: f es continua (función racional con denominador no nulo)
  • En x = 1: lím f(x) = lím (x + 1) = 2 ≠ f(1) = 3
  • Discontinuidad evitable en x = 1

4. Calcular lím x^(1/x) cuando x → ∞

Indeterminación ∞⁰. Usamos logaritmos:

$\ln(x^{1/x}) = \frac{\ln x}{x}$

Aplicando L'Hôpital a esta indeterminación ∞/∞:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$

Por tanto: lím x^(1/x) = e⁰ = 1

Aplicaciones

  • Física: Velocidad instantánea, aceleración
  • Economía: Costos marginales, utilidad marginal
  • Ingeniería: Análisis de estabilidad, control de procesos
  • Biología: Tasas de crecimiento poblacional
  • Informática: Análisis de algoritmos, complejidad computacional

Técnicas de Cálculo

  • Factorización: Para eliminar indeterminaciones
  • Racionalización: Para radicales
  • Sustituciones: Cambios de variable apropiados
  • Equivalencias: Uso de infinitésimos equivalentes
  • Series de Taylor: Para funciones complicadas

1. ¿Cuándo podemos aplicar la regla de L'Hôpital? (1 puntos)

2. ¿Qué significa que una función sea continua en un punto? (1 puntos)

3. ¿Cuál es lím (sen x)/x cuando x→0? (1 puntos)

4. Sobre límites fundamentales: (3 puntos)

a ) ¿Cuál es lím (1 + 1/x)^x cuando x→∞?

b ) ¿Cuál es lím (cos x - 1)/x cuando x→0?

c ) ¿Es cierto que lím ln(1+x)/x = 1 cuando x→0? (Sí/No)

5. ¿Qué garantiza el teorema de Bolzano? (1 puntos)