Introducción a las Matrices

Una matriz es una tabla rectangular de números, símbolos o expresiones, organizados en filas y columnas. Las matrices son fundamentales en el álgebra lineal y tienen múltiples aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería y ciencias de la computación.

Dimensión y Notación

Una matriz de dimensión m×n tiene m filas y n columnas. Se denota como:

\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\)

Tipos de Matrices

• Matriz fila: Tiene una sola fila (1×n)
• Matriz columna: Tiene una sola columna (m×1)
• Matriz cuadrada: Tiene igual número de filas y columnas (n×n)
• Matriz identidad: Matriz cuadrada con 1 en la diagonal principal y 0 en el resto
• Matriz nula: Todos sus elementos son cero
• Matriz triangular superior: Todos los elementos bajo la diagonal principal son cero
• Matriz triangular inferior: Todos los elementos sobre la diagonal principal son cero
• Matriz diagonal: Solo tiene elementos no nulos en la diagonal principal

Operaciones con Matrices

1. Suma y Resta de Matrices

Se pueden sumar o restar matrices del mismo tamaño sumando o restando los elementos correspondientes:

\(A \pm B){ij} = a{ij} \pm b_{ij}\)

2. Producto por un Escalar

Se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar:

\(kA){ij} = k \cdot a{ij}\)

3. Producto de Matrices

El producto A·B existe solo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B:

\(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}\)

Matriz Traspuesta

La matriz traspuesta AT se obtiene intercambiando filas por columnas:

\(A^T){ij} = a{ji}\)

Propiedades de la traspuesta:

• \(A^T)^T = A\)
• \(A + B)^T = A^T + B^T\)
• \(kA)^T = kA^T\)
• \(AB)^T = B^T A^T\)

Rango de una Matriz

El rango de una matriz es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Se puede calcular mediante el método de eliminación de Gauss.

Método de Gauss para calcular el rango:

• Aplicar operaciones elementales para obtener una matriz escalonada
• Contar el número de filas no nulas
• Ese número es el rango de la matriz

Matriz Inversa

Una matriz cuadrada A tiene matriz inversa A-1 si:

\(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\)

Condiciones para la existencia de la inversa:

• La matriz debe ser cuadrada
• Su determinante debe ser distinto de cero
• Su rango debe ser igual a su orden

Métodos para calcular la matriz inversa:

##### 1. Método de Gauss-Jordan Se aplica el método de Gauss-Jordan a la matriz aumentada [A|I] hasta obtener [I|A-1].

##### 2. Método de la matriz adjunta

\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)\)

Ecuaciones Matriciales

Las ecuaciones matriciales tienen la forma:

• AX = B: Si A es invertible, entonces X = A-1B
• XA = B: Si A es invertible, entonces X = BA-1
• AXB = C: Si A y B son invertibles, entonces X = A-1CB-1

Ejemplo Práctico

Ejemplo completo Dadas las matrices:

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

1. Calcular A + B:

\(A + B = \begin{pmatrix} 2+1 & 1+0 \\ 3+1 & 2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}\)

2. Calcular AB:

\(AB = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}\)

3. Calcular A-1:

Primero calculamos |A| = 2·2 - 1·3 = 4 - 3 = 1

Como |A| ≠ 0, A tiene inversa:

\(A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\)

Aplicaciones

Las matrices tienen múltiples aplicaciones:

• Sistemas de ecuaciones lineales: Representación matricial AX = B
• Transformaciones geométricas: Rotaciones, traslaciones, escalados
• Gráficos por computadora: Modelado 3D y animación
• Estadística: Análisis multivariante
• Economía: Modelos input-output
• Redes: Representación de grafos