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Introducción a la Probabilidad
La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios y la incertidumbre, permitiendo cuantificar la posibilidad de que ocurran ciertos eventos.
Conceptos Básicos
Experimento Aleatorio
Es un proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza, pero sí conocemos todos los resultados posibles.
Ejemplos: Lanzar una moneda, tirar un dado, extraer una carta.Espacio Muestral (Ω)
Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
- Moneda: Ω = {cara, cruz}
- Dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Dos monedas: Ω = {(C,C), (C,X), (X,C), (X,X)}
Suceso o Evento
Subconjunto del espacio muestral.
- Suceso elemental: Contiene un solo resultado
- Suceso compuesto: Contiene varios resultados
- Suceso seguro: Ω (siempre ocurre)
- Suceso imposible: ∅ (nunca ocurre)
Operaciones con Sucesos
Unión (A ∪ B)
Suceso que ocurre cuando se verifica A o B (o ambos).
Intersección (A ∩ B)
Suceso que ocurre cuando se verifican A y B simultáneamente.
Complementario (Ā o Aᶜ)
Suceso que ocurre cuando no se verifica A.
Diferencia (A - B)
Suceso que ocurre cuando se verifica A pero no B.
Sucesos Incompatibles
A y B son incompatibles si A ∩ B = ∅ (no pueden ocurrir simultáneamente).
Definición de Probabilidad
Definición Clásica (Laplace)
Si todos los sucesos elementales son equiprobables:
\[P(A) = \frac{ \text{Casos favorables a A}}{ \text{Casos posibles}}\]
Definición Frecuentista
La probabilidad es el límite de la frecuencia relativa cuando el número de repeticiones tiende a infinito.
Propiedades de la Probabilidad
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 para todo suceso A
- P(Ω) = 1
- P(∅) = 0
- P(Ā) = 1 - P(A)
- Si A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B)
Reglas de Cálculo
Regla de la Adición
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
Caso particular: Sucesos incompatibles
Si A ∩ B = ∅, entonces:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
Regla del Producto
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)\]
Caso particular: Sucesos independientes
Si A y B son independientes:
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
Probabilidad Condicionada
Definición
La probabilidad de A dado que ha ocurrido B:
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{si } P(B) > 0\]
Interpretación
Representa la probabilidad de A en el espacio muestral reducido B.
Independencia de Sucesos
A y B son independientes si:
\[P(A|B) = P(A) \quad \text{o equivalentemente} \quad P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
Teoremas Fundamentales
Teorema de la Probabilidad Total
Si B₁, B₂, ..., Bₙ forman una partición de Ω, entonces:
\[P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)\]
Teorema de Bayes
Permite calcular probabilidades "inversas":
\[P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j) \cdot P(B_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)}\]
Forma simple (dos sucesos)
\[P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\bar{B}) \cdot P(\bar{B})}\]
Combinatoria
La combinatoria es fundamental para calcular probabilidades en experimentos con múltiples resultados.
Principio Fundamental de Conteo
Si una tarea se puede realizar de m maneras y otra de n maneras, ambas tareas se pueden realizar de m × n maneras.
Variaciones
Variaciones sin repetición
Ordenaciones de r elementos tomados de n elementos distintos:
\[V_{n,r} = \frac{n!}{(n-r)!}\]
Variaciones con repetición
Ordenaciones de r elementos tomados de n elementos donde se puede repetir:
\[VR_{n,r} = n^r\]
Permutaciones
Permutaciones sin repetición
Ordenaciones de n elementos distintos:
\[P_n = n!\]
Permutaciones con repetición
Si hay n₁ elementos del tipo 1, n₂ del tipo 2, ..., nₖ del tipo k:
\[PR_{n_1,n_2,...,n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}\]
Combinaciones
Combinaciones sin repetición
Selecciones de r elementos de n elementos sin importar el orden:
\[C_{n,r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]
Combinaciones con repetición
Selecciones de r elementos de n tipos con repetición permitida:
\[CR_{n,r} = \binom{n+r-1}{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}\]
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Probabilidad básica
Ejemplo: Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener suma 7?
Espacio muestral: 36 resultados posibles
Casos favorables: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6 casos
\[P( \text{suma 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
Ejemplo 2: Probabilidad condicionada
Ejemplo: En una baraja española, se extrae una carta. Si sabemos que es figura, ¿cuál es la probabilidad de que sea de oros?
Datos:
- Total cartas: 40
- Figuras totales: 12 (3 por palo × 4 palos)
- Figuras de oros: 3
\[P( \text{oros}| \text{figura}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\]
Ejemplo 3: Teorema de Bayes
Ejemplo: Una prueba médica detecta una enfermedad en el 95% de los casos si está presente, y da falso positivo en el 2% si no está presente. Si la enfermedad afecta al 1% de la población, ¿cuál es la probabilidad de tener la enfermedad si el test es positivo?
Datos:
- P(E) = 0.01 (prevalencia)
- P(+|E) = 0.95 (sensibilidad)
- P(+|Ē) = 0.02 (falso positivo)
\[P(E|+) = \frac{P(+|E) \cdot P(E)}{P(+|E) \cdot P(E) + P(+|\bar{E}) \cdot P(\bar{E})}\]
\[P(E|+) = \frac{0.95 \cdot 0.01}{0.95 \cdot 0.01 + 0.02 \cdot 0.99} = \frac{0.0095}{0.0095 + 0.0198} = \frac{0.0095}{0.0293} \approx 0.324\]
Solo hay un 32.4% de probabilidad de tener la enfermedad con test positivo.Ejemplo 4: Combinatoria
Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden elegir 5 estudiantes de una clase de 20 para formar un comité?
Es una combinación (no importa el orden):
\[C_{20,5} = \binom{20}{5} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15,504\]
Problemas Típicos
Extracción de bolas
Con/sin reposición, diferentes colores, probabilidades condicionadas.
Pruebas diagnósticas
Sensibilidad, especificidad, valores predictivos usando Bayes.
Sistemas en serie y paralelo
Fiabilidad de sistemas complejos usando independencia.
Lotería y juegos
Aplicación directa de combinatoria y probabilidad clásica.
Estrategias de Resolución
Identificar el tipo de problema
- ¿Es probabilidad simple? → Definición clásica
- ¿Hay condiciones? → Probabilidad condicionada
- ¿Se busca causa? → Teorema de Bayes
- ¿Múltiples etapas? → Árbol de probabilidades
Pasos generales
- Definir claramente el experimento y espacio muestral
- Identificar los sucesos relevantes
- Determinar si hay independencia o dependencia
- Aplicar las fórmulas apropiadas
- Verificar que el resultado tenga sentido
Aplicaciones
- Medicina: Diagnósticos, ensayos clínicos
- Finanzas: Análisis de riesgo, seguros
- Ingeniería: Fiabilidad, control de calidad
- Ciencias sociales: Encuestas, estudios estadísticos
- Deportes: Análisis de rendimiento, apuestas
- Tecnología: Algoritmos, inteligencia artificial