Rectas en el Espacio
Una recta en el espacio queda determinada por un punto y un vector director, o por dos puntos distintos.
Ecuaciones de la Recta
Ecuación Vectorial
Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director d⃗ = (d₁, d₂, d₃):
$\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}$
Donde t es un parámetro real.
Ecuaciones Paramétricas
$\begin{cases} x = a_1 + td_1 \\ y = a_2 + td_2 \\ z = a_3 + td_3 \end{cases}$
Ecuaciones Continuas (Simétricas)
Si d₁, d₂, d₃ ≠ 0:
$ \frac{x - a_1}{d_1} = \frac{y - a_2}{d_2} = \frac{z - a_3}{d_3}$
Ecuaciones Implícitas
Como intersección de dos planos:
$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$
Posiciones Relativas de Dos Rectas
Dadas dos rectas r₁ y r₂ con vectores directores d⃗₁ y d⃗₂:
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Posición | Condición | Características
| Coincidentes | d⃗₁ ∥ d⃗₂ y A₁ ∈ r₂ | Misma recta
| Paralelas | d⃗₁ ∥ d⃗₂ y A₁ ∉ r₂ | No se cortan, coplanarias
| Secantes | d⃗₁ ∦ d⃗₂ y [d⃗₁, d⃗₂, A₁A₂⃗] = 0 | Se cortan en un punto, coplanarias
| Cruzadas | d⃗₁ ∦ d⃗₂ y [d⃗₁, d⃗₂, A₁A₂⃗] ≠ 0 | No se cortan, no coplanarias
Planos en el Espacio
Un plano en el espacio queda determinado por un punto y un vector normal, o por tres puntos no colineales.
Ecuaciones del Plano
Ecuación Vectorial
Dado un punto A y dos vectores directores u⃗ y v⃗:
$\vec{r} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v}$
Ecuaciones Paramétricas
$\begin{cases} x = a_1 + su_1 + tv_1 \\ y = a_2 + su_2 + tv_2 \\ z = a_3 + su_3 + tv_3 \end{cases}$
Ecuación General (Implícita)
Dado un vector normal n⃗ = (A, B, C) y un punto P₀(x₀, y₀, z₀):
$Ax + By + Cz + D = 0$
Donde D = -(Ax₀ + By₀ + Cz₀)
Posiciones Relativas de Dos Planos
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Posición | Condición | Características
| Coincidentes | Proporcionales: A₁:B₁:C₁:D₁ = A₂:B₂:C₂:D₂ | Mismo plano
| Paralelos | A₁:B₁:C₁ = A₂:B₂:C₂ ≠ D₁:D₂ | No se cortan
| Secantes | A₁:B₁:C₁ ≠ A₂:B₂:C₂ | Se cortan en una recta
Posiciones Relativas de Tres Planos
Para tres planos, las posiciones pueden ser:
- Se cortan en un punto: rango = 3, sistema compatible determinado
- Se cortan en una recta: rango = 2, sistema compatible indeterminado
- Coinciden en un plano: rango = 1
- No tienen puntos comunes: Sistema incompatible
Posición Relativa entre Recta y Plano
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Posición | Condición | Características
| Contenida | d⃗ · n⃗ = 0 y A ∈ π | Recta está en el plano
| Paralela | d⃗ · n⃗ = 0 y A ∉ π | No se cortan
| Secante | d⃗ · n⃗ ≠ 0 | Se cortan en un punto
| Perpendicular | d⃗ ∥ n⃗ | Caso particular de secante
Determinación de Rectas y Planos
Una recta queda determinada por:
- Dos puntos distintos
- Un punto y un vector director
- Intersección de dos planos no paralelos
Un plano queda determinado por:
- Tres puntos no colineales
- Un punto y un vector normal
- Un punto y dos vectores directores no paralelos
- Una recta y un punto exterior a ella
- Dos rectas paralelas
- Dos rectas secantes
Ejemplo Práctico Completo
Ejemplo: Posiciones relativas Analizar la posición relativa de la recta y el plano:
Recta r: (x,y,z) = (1,2,0) + t(2,1,-1)
Plano π: x + y - z - 4 = 0
Paso 1: Identificar elementos
- Punto de r: A(1,2,0)
- Vector director de r: d⃗ = (2,1,-1)
- Vector normal de π: n⃗ = (1,1,-1)
Paso 2: Calcular d⃗ · n⃗
$\vec{d} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 2 + 1 + 1 = 4 \neq 0$
Paso 3: Conclusión
Como d⃗ · n⃗ ≠ 0, la recta y el plano se cortan en un punto.
Paso 4: Hallar el punto de corte
Sustituir la ecuación paramétrica en la ecuación del plano:
$1 + 2t) + (2 + t) - (0 - t) - 4 = 0$
1 + 2t + 2 + t + t - 4 = 0
4t - 1 = 0 ⟹ t = 1/4
Punto de corte: (1 + 2·1/4, 2 + 1/4, 0 - 1/4) = (3/2, 9/4, -1/4)
Aplicaciones
- Arquitectura: Diseño de estructuras y espacios
- Ingeniería: Trayectorias de movimiento, intersecciones
- Gráficos por computadora: Modelado 3D, ray tracing
- Navegación: Rutas aéreas y marítimas
- Cristalografía: Planos cristalinos
Técnicas de Resolución
- Método de rangos: Para sistemas con parámetros
- Método geométrico: Usando vectores directores y normales
- Método analítico: Sustitución de ecuaciones
- Métodos gráficos: Representación espacial