Rectas en el Espacio

Una recta en el espacio queda determinada por un punto y un vector director, o por dos puntos distintos.

Ecuaciones de la Recta

Ecuación Vectorial

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director d⃗ = (d₁, d₂, d₃):

\(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)

Donde t es un parámetro real.

Ecuaciones Paramétricas

\(\begin{cases} x = a_1 + td_1 \\ y = a_2 + td_2 \\ z = a_3 + td_3 \end{cases}\)

Ecuaciones Continuas (Simétricas)

Si d₁, d₂, d₃ ≠ 0:

\( \frac{x - a_1}{d_1} = \frac{y - a_2}{d_2} = \frac{z - a_3}{d_3}\)

Ecuaciones Implícitas

Como intersección de dos planos:

\(\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}\)

Posiciones Relativas de Dos Rectas

Dadas dos rectas r₁ y r₂ con vectores directores d⃗₁ y d⃗₂:

|

Posición | Condición | Características

| Coincidentes | d⃗₁ ∥ d⃗₂ y A₁ ∈ r₂ | Misma recta

| Paralelas | d⃗₁ ∥ d⃗₂ y A₁ ∉ r₂ | No se cortan, coplanarias

| Secantes | d⃗₁ ∦ d⃗₂ y [d⃗₁, d⃗₂, A₁A₂⃗] = 0 | Se cortan en un punto, coplanarias

| Cruzadas | d⃗₁ ∦ d⃗₂ y [d⃗₁, d⃗₂, A₁A₂⃗] ≠ 0 | No se cortan, no coplanarias

Planos en el Espacio

Un plano en el espacio queda determinado por un punto y un vector normal, o por tres puntos no colineales.

Ecuaciones del Plano

Ecuación Vectorial

Dado un punto A y dos vectores directores u⃗ y v⃗:

\(\vec{r} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v}\)

Ecuaciones Paramétricas

\(\begin{cases} x = a_1 + su_1 + tv_1 \\ y = a_2 + su_2 + tv_2 \\ z = a_3 + su_3 + tv_3 \end{cases}\)

Ecuación General (Implícita)

Dado un vector normal n⃗ = (A, B, C) y un punto P₀(x₀, y₀, z₀):

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

Donde D = -(Ax₀ + By₀ + Cz₀)

Posiciones Relativas de Dos Planos

|

Posición | Condición | Características

| Coincidentes | Proporcionales: A₁:B₁:C₁:D₁ = A₂:B₂:C₂:D₂ | Mismo plano

| Paralelos | A₁:B₁:C₁ = A₂:B₂:C₂ ≠ D₁:D₂ | No se cortan

| Secantes | A₁:B₁:C₁ ≠ A₂:B₂:C₂ | Se cortan en una recta

Posiciones Relativas de Tres Planos

Para tres planos, las posiciones pueden ser:

• Se cortan en un punto: rango = 3, sistema compatible determinado
• Se cortan en una recta: rango = 2, sistema compatible indeterminado
• Coinciden en un plano: rango = 1
• No tienen puntos comunes: Sistema incompatible

Posición Relativa entre Recta y Plano

|

Posición | Condición | Características

| Contenida | d⃗ · n⃗ = 0 y A ∈ π | Recta está en el plano

| Paralela | d⃗ · n⃗ = 0 y A ∉ π | No se cortan

| Secante | d⃗ · n⃗ ≠ 0 | Se cortan en un punto

| Perpendicular | d⃗ ∥ n⃗ | Caso particular de secante

Determinación de Rectas y Planos

Una recta queda determinada por:

• Dos puntos distintos
• Un punto y un vector director
• Intersección de dos planos no paralelos

Un plano queda determinado por:

• Tres puntos no colineales
• Un punto y un vector normal
• Un punto y dos vectores directores no paralelos
• Una recta y un punto exterior a ella
• Dos rectas paralelas
• Dos rectas secantes

Ejemplo Práctico Completo

Ejemplo: Posiciones relativas Analizar la posición relativa de la recta y el plano:

Recta r: (x,y,z) = (1,2,0) + t(2,1,-1) Plano π: x + y - z - 4 = 0 Paso 1: Identificar elementos

• Punto de r: A(1,2,0)
• Vector director de r: d⃗ = (2,1,-1)
• Vector normal de π: n⃗ = (1,1,-1)

Paso 2: Calcular d⃗ · n⃗

\(\vec{d} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 2 + 1 + 1 = 4 \neq 0\)

Paso 3: Conclusión

Como d⃗ · n⃗ ≠ 0, la recta y el plano se cortan en un punto.

Paso 4: Hallar el punto de corte

Sustituir la ecuación paramétrica en la ecuación del plano:

\(1 + 2t) + (2 + t) - (0 - t) - 4 = 0\)

1 + 2t + 2 + t + t - 4 = 0

4t - 1 = 0 ⟹ t = 1/4

Punto de corte: (1 + 2·1/4, 2 + 1/4, 0 - 1/4) = (3/2, 9/4, -1/4)

Aplicaciones

• Arquitectura: Diseño de estructuras y espacios
• Ingeniería: Trayectorias de movimiento, intersecciones
• Gráficos por computadora: Modelado 3D, ray tracing
• Navegación: Rutas aéreas y marítimas
• Cristalografía: Planos cristalinos

Técnicas de Resolución

• Método de rangos: Para sistemas con parámetros
• Método geométrico: Usando vectores directores y normales
• Método analítico: Sustitución de ecuaciones
• Métodos gráficos: Representación espacial