Teoría Ejercicios

Representación Gráfica de Funciones

La representación gráfica de una función consiste en obtener su gráfica de manera sistemática mediante el análisis de sus propiedades analíticas.

Metodología General

  • Dominio de definición
  • Simetrías (paridad, periodicidad)
  • Puntos de corte con los ejes
  • Asíntotas (verticales, horizontales, oblicuas)
  • Monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento)
  • Extremos relativos
  • Curvatura (concavidad y convexidad)
  • Puntos de inflexión
  • Representación gráfica

Análisis del Dominio

Determinar el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida.

  • Funciones polinómicas: Dominio = ℝ
  • Funciones racionales: ℝ - {ceros del denominador}
  • Funciones con radicales: Radicando ≥ 0 (raíces pares)
  • Funciones logarítmicas: Argumento > 0
  • Funciones exponenciales: Dominio = ℝ (generalmente)

Simetrías

Paridad

  • Función par: f(-x) = f(x) → Simétrica respecto al eje Y
  • Función impar: f(-x) = -f(x) → Simétrica respecto al origen

Periodicidad

f(x + T) = f(x) para todo x del dominio, donde T es el período.

Puntos de Corte

  • Con el eje Y: f(0) (si 0 está en el dominio)
  • Con el eje X: Resolver f(x) = 0

Asíntotas

Asíntotas Verticales

x = a es asíntota vertical si lím f(x) = ±∞ cuando x → a.

Para funciones racionales: en los ceros del denominador que no sean ceros del numerador.

Asíntotas Horizontales

y = L es asíntota horizontal si lím f(x) = L cuando x → ±∞.

Asíntotas Oblicuas

y = mx + n es asíntota oblicua si:

\(m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \quad \text{y} \quad n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]\)

Tipos Específicos de Funciones

Funciones Polinómicas

f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

Características Generales

  • Dominio: ℝ
  • Continuidad: Continuas en todo ℝ
  • Derivabilidad: Derivables en todo ℝ
  • Asíntotas: No tienen asíntotas verticales ni horizontales

Comportamiento en los Extremos

  • Grado par, coeficiente principal positivo: lím f(x) = +∞ cuando x → ±∞
  • Grado par, coeficiente principal negativo: lím f(x) = -∞ cuando x → ±∞
  • Grado impar, coeficiente principal positivo: lím f(x) = -∞ cuando x → -∞, +∞ cuando x → +∞
  • Grado impar, coeficiente principal negativo: lím f(x) = +∞ cuando x → -∞, -∞ cuando x → +∞

Funciones Racionales

f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Características Generales

  • Dominio: ℝ - {ceros de Q(x)}
  • Asíntotas verticales: En los ceros de Q(x) que no sean ceros de P(x)
  • Asíntotas horizontales: Dependen de los grados de P(x) y Q(x)

Asíntotas Horizontales según los Grados

|

Grados | Asíntota Horizontal

| grado(P) < grado(Q) | y = 0

| grado(P) = grado(Q) | y = aₙ/bₙ (cociente de coeficientes principales)

| grado(P) = grado(Q) + 1 | Asíntota oblicua

| grado(P) > grado(Q) + 1 | No hay asíntotas horizontales ni oblicuas

Funciones Irracionales

Funciones que contienen radicales.

Ejemplo Típico: f(x) = √(ax + b)

  • Dominio: ax + b ≥ 0
  • Monotonía: Creciente si a > 0, decreciente si a < 0
  • Derivada: f'(x) = a/(2√(ax + b))

Funciones Exponenciales

f(x) = aˣ, donde a > 0 y a ≠ 1.

Características Generales

  • Dominio: ℝ
  • Recorrido: (0, +∞)
  • Asíntota horizontal: y = 0 (eje X)
  • Punto de paso: (0, 1)
  • Monotonía: Creciente si a > 1, decreciente si 0 < a < 1

Funciones Logarítmicas

f(x) = log_a(x), donde a > 0 y a ≠ 1.

Características Generales

  • Dominio: (0, +∞)
  • Recorrido: ℝ
  • Asíntota vertical: x = 0 (eje Y)
  • Punto de paso: (1, 0)
  • Monotonía: Creciente si a > 1, decreciente si 0 < a < 1

Ejemplo Práctico Completo

Ejemplo: Representar f(x) = (x² - 4)/(x - 1)

1. Dominio:

D = ℝ - {1} (denominador se anula en x = 1)

2. Puntos de corte:
  • Con eje Y: f(0) = (-4)/(-1) = 4 → (0, 4)
  • Con eje X: x² - 4 = 0 → x = ±2 → (-2, 0) y (2, 0)
3. Asíntotas:
  • Vertical: x = 1 (denominador se anula, numerador no)
  • Oblicua: División: f(x) = x + 1 + (-3)/(x-1)
  • Asíntota oblicua: y = x + 1
4. Derivada y monotonía:

\(f'(x) = \frac{(2x)(x-1) - (x^2-4)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x-1)^2}\)

Como x² - 2x + 4 = (x-1)² + 3 > 0 siempre, f'(x) > 0 para todo x ≠ 1

La función es creciente en (-∞, 1) y en (1, +∞)

5. Segunda derivada y curvatura:

\(f''(x) = \frac{-6}{(x-1)^3}\)

  • f''(x) > 0 para x < 1 → cóncava hacia arriba
  • f''(x) < 0 para x > 1 → cóncava hacia abajo
6. Comportamiento cerca de la asíntota:
  • lím f(x) = +∞ cuando x → 1⁻
  • lím f(x) = -∞ cuando x → 1⁺

Estrategias por Tipo de Función

Para Funciones Polinómicas

  • Factorizar para encontrar ceros
  • Analizar el comportamiento en los extremos
  • Estudiar monotonía y extremos
  • Determinar puntos de inflexión

Para Funciones Racionales

  • Simplificar la fracción si es posible
  • Identificar asíntotas verticales
  • Determinar asíntotas horizontales u oblicuas
  • Analizar el comportamiento cerca de las asíntotas

Para Funciones con Radicales

  • Determinar el dominio cuidadosamente
  • Analizar el comportamiento en los extremos del dominio
  • Estudiar la derivabilidad en puntos críticos

Para Funciones Logarítmicas y Exponenciales

  • Identificar transformaciones de la función básica
  • Determinar asíntotas características
  • Usar las propiedades específicas de crecimiento

Herramientas de Análisis

  • Tabla de signos: Para f'(x) y f''(x)
  • Tabla de variación: Resumen completo del comportamiento
  • Puntos auxiliares: Para precisar la gráfica
  • Límites laterales: En puntos de discontinuidad

Aplicaciones

  • Física: Gráficas de movimiento, oscilaciones
  • Economía: Funciones de costo, demanda, oferta
  • Biología: Modelos de crecimiento poblacional
  • Ingeniería: Respuesta de sistemas, señales
  • Arquitectura: Diseño de curvas y superficies