Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente. La forma general es:

\(\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}\)

Representación Matricial

Un sistema se puede escribir en forma matricial como AX = B, donde:

• A: Matriz de coeficientes (m×n)
• X: Vector de incógnitas (n×1)
• B: Vector de términos independientes (m×1)
• (A|B): Matriz ampliada

Clasificación de Sistemas

Según su Compatibilidad

|

Tipo | Condición | Número de Soluciones

| Compatible Determinado | rango(A) = rango(A|B) = n | Una solución única

| Compatible Indeterminado | rango(A) = rango(A|B) < n | Infinitas soluciones

| Incompatible | rango(A) ≠ rango(A|B) | Sin solución

Método de Eliminación de Gauss

El método de Gauss transforma la matriz ampliada a forma escalonada mediante operaciones elementales:

Operaciones Elementales

• F_i ↔ F_j: Intercambiar las filas i y j
• F_i → k·F_i: Multiplicar la fila i por un escalar k ≠ 0
• F_i → F_i + k·F_j: Sumar a la fila i la fila j multiplicada por k

Proceso del Método de Gauss

• Formar la matriz ampliada (A|B)
• Aplicar operaciones elementales para obtener forma escalonada
• Determinar los rangos de A y (A|B)
• Clasificar el sistema según el teorema de Rouché-Frobenius
• Si es compatible, resolver por sustitución hacia atrás

Método de Gauss-Jordan

Extensión del método de Gauss que lleva la matriz a forma escalonada reducida (forma canónica de fila):

• Todos los pivotes son 1
• Todos los elementos arriba y abajo de los pivotes son 0
• Los pivotes están en posiciones escalonadas

Sistemas Homogéneos

Un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son cero: AX = 0

Propiedades de los Sistemas Homogéneos

• Siempre tienen al menos una solución: la solución trivial (X = 0)
• Si rango(A) = n, solo tienen la solución trivial
• Si rango(A) < n, tienen infinitas soluciones (incluyendo soluciones no triviales)
• Para sistemas cuadrados: si det(A) ≠ 0, solo solución trivial; si det(A) = 0, infinitas soluciones

Discusión de Sistemas

La discusión de un sistema consiste en analizar para qué valores de los parámetros el sistema es compatible o incompatible.

Pasos para la Discusión

• Aplicar el método de Gauss hasta obtener forma escalonada
• Identificar las condiciones sobre los parámetros
• Calcular rango(A) y rango(A|B) según los casos
• Aplicar el teorema de Rouché-Frobenius
• Resolver el sistema en los casos compatibles

Ejemplo Práctico Completo

Ejemplo: Discutir y resolver el sistema

\(\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 3y + z = 5 \\ x + 2y + \lambda z = \mu \end{cases}\)

Paso 1: Formar la matriz ampliada

\(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 3 & 1 & | & 5 \\ 1 & 2 & \lambda & | & \mu \end{pmatrix}\)

Paso 2: Aplicar Gauss

F₂ → F₂ - 2F₁:

\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 1 & 2 & \lambda & | & \mu \end{pmatrix}\)

F₃ → F₃ - F₁:

\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 1 & \lambda-1 & | & \mu-3 \end{pmatrix}\)

F₃ → F₃ - F₂:

\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & \lambda & | & \mu-2 \end{pmatrix}\)

Paso 3: Discusión

• Si λ ≠ 0: rango(A) = rango(A|B) = 3. Sistema compatible determinado.
• Si λ = 0 y μ = 2: rango(A) = rango(A|B) = 2 < 3. Sistema compatible indeterminado.
• Si λ = 0 y μ ≠ 2: rango(A) = 2 ≠ rango(A|B) = 3. Sistema incompatible.

Paso 4: Resolución

Para λ ≠ 0: z = (μ-2)/λ, y = -1 + z, x = 3 - y - z

Para λ = 0, μ = 2: z = t (parámetro), y = -1, x = 4

Aplicaciones

• Ingeniería: Análisis de circuitos eléctricos, estructuras
• Economía: Modelos input-output, programación lineal
• Química: Balance de ecuaciones químicas
• Física: Equilibrio de fuerzas, análisis de redes
• Informática: Gráficos por computadora, machine learning

Métodos Computacionales

Para sistemas grandes, se utilizan métodos computacionales:

• Eliminación de Gauss con pivoteo: Mejora la estabilidad numérica
• Factorización LU: Eficiente para múltiples sistemas con la misma matriz A
• Métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel para matrices grandes y dispersas