Vectores en el Espacio

Los vectores son elementos fundamentales en la geometría del espacio que nos permiten representar magnitudes que tienen tanto módulo como dirección y sentido.

Definición y Representación

Un vector en el espacio se puede representar:

• Geométricamente: Como un segmento orientado con origen y extremo
• Analíticamente: Mediante sus componentes cartesianas: v⃗ = (vₓ, vᵧ, vᵧ)
• Mediante vectores unitarios: v⃗ = vₓî + vᵧĵ + vᵧk̂

Base Ortonormal

Una base ortonormal \(\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}\) es un conjunto de tres vectores que cumplen:

• Ortogonales: î · ĵ = î · k̂ = ĵ · k̂ = 0
• Unitarios: |î| = |ĵ| = |k̂| = 1
• Linealmente independientes: forman una base del espacio

Operaciones con Vectores

Suma y Resta de Vectores

\(\vec{u} \pm \vec{v} = (u_x \pm v_x, u_y \pm v_y, u_z \pm v_z)\)

Producto por un Escalar

\(k\vec{u} = (ku_x, ku_y, ku_z)\)

Módulo de un Vector

\(|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}\)

Producto Escalar

El producto escalar (o producto punto) de dos vectores es un número real:

Definición Analítica

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z\)

Definición Geométrica

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta\)

Donde θ es el ángulo entre los vectores.

Propiedades del Producto Escalar

• Conmutativo: u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗
• Distributivo: u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗
• Asociativo con escalares: (ku⃗) · v⃗ = k(u⃗ · v⃗)
• u⃗ · u⃗ = |u⃗|²
• u⃗ · v⃗ = 0 ⟺ u⃗ ⊥ v⃗ (vectores perpendiculares)

Aplicaciones del Producto Escalar

• Cálculo del ángulo entre vectores: cos θ = (u⃗ · v⃗)/(|u⃗||v⃗|)
• Proyección de un vector sobre otro: \(\mathrm{proy}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}\)
• Trabajo en física: W = F⃗ · d⃗

Producto Vectorial

El producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores es otro vector:

Definición Analítica

\(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}\)

\(\vec{u} \times \vec{v} = (u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_x)\)

Definición Geométrica

• Módulo: |u⃗ × v⃗| = |u⃗| |v⃗| sen θ
• Dirección: Perpendicular al plano formado por u⃗ y v⃗
• Sentido: Regla de la mano derecha

Propiedades del Producto Vectorial

• Anticonmutativo: u⃗ × v⃗ = -v⃗ × u⃗
• Distributivo: u⃗ × (v⃗ + w⃗) = u⃗ × v⃗ + u⃗ × w⃗
• u⃗ × u⃗ = 0⃗
• u⃗ × v⃗ = 0⃗ ⟺ u⃗ ∥ v⃗ (vectores paralelos)
• |u⃗ × v⃗| = área del paralelogramo formado por u⃗ y v⃗

Aplicaciones del Producto Vectorial

• Cálculo de áreas: Área = ½|u⃗ × v⃗|
• Vector normal a un plano
• Momento de una fuerza: M⃗ = r⃗ × F⃗
• Velocidad angular: v⃗ = ω⃗ × r⃗

Producto Mixto

El producto mixto de tres vectores es un escalar:

\([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ w_x & w_y & w_z \end{vmatrix}\)

Propiedades del Producto Mixto

• Interpretación geométrica: |[u⃗, v⃗, w⃗]| = volumen del paralelepípedo
• Coplanaridad: [u⃗, v⃗, w⃗] = 0 ⟺ los vectores son coplanarios
• Ciclicidad: [u⃗, v⃗, w⃗] = [v⃗, w⃗, u⃗] = [w⃗, u⃗, v⃗]
• Cambio de signo: Intercambiar dos vectores cambia el signo

Ejemplo Práctico Completo

Ejemplo: Cálculos con vectores Dados los vectores u⃗ = (2, 1, -1) y v⃗ = (1, -1, 2):

1. Producto escalar:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 2 - 1 - 2 = -1\)

2. Módulos:

\(|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}\)

\(|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}\)

3. Ángulo entre vectores:

\(\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{-1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-1}{6}\)

θ = arccos(-1/6) ≈ 99.59°

4. Producto vectorial:

\(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}\)

= î(1·2 - (-1)·(-1)) - ĵ(2·2 - (-1)·1) + k̂(2·(-1) - 1·1)

= î(2 - 1) - ĵ(4 + 1) + k̂(-2 - 1)

= (1, -5, -3)

5. Área del paralelogramo:

\(|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{35}\)

Aplicaciones en Geometría

• Ecuaciones de rectas y planos
• Distancias entre puntos, rectas y planos
• Ángulos entre rectas y planos
• Volúmenes y áreas
• Proyecciones ortogonales

Aplicaciones en Física

• Mecánica: Velocidad, aceleración, fuerza
• Estática: Equilibrio de fuerzas y momentos
• Electromagnetismo: Campo eléctrico y magnético
• Mecánica de fluidos: Velocidad y vorticidad