Anualidades y Rentas Constantes
Una renta o anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales a lo largo del tiempo. Son la base de los planes de ahorro, hipotecas y pensiones.
Elementos de una renta
| Elemento | Símbolo | Descripción |
|---|---|---|
| Término o cuota | $a$ | Importe de cada pago |
| Duración | $n$ | Número de períodos |
| Tipo de interés | $r$ | Interés por período |
| Valor actual | $V_0$ | Valor hoy de todos los pagos |
| Valor final | $V_n$ | Valor al final de todos los pagos |
Renta postpagable (ordinaria)
Los pagos se realizan al final de cada período (lo más habitual).
Valor actual (cuánto vale hoy)
$$
V_0 = a \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}
$$
Valor final (cuánto tenemos al acabar)
$$
V_n = a \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}
$$
Ahorramos 200 € al mes durante 5 años al 3% anual (0,25% mensual)
$a = 200$, $r = 0{,}0025$, $n = 60$ meses
$$
V_{60} = 200 \cdot \frac{(1{,}0025)^{60} - 1}{0{,}0025} = 200 \cdot \frac{1{,}1616 - 1}{0{,}0025} = 200 \cdot 64{,}65 \approx 12930 \text{ €}
$$
Renta prepagable (anticipada)
Los pagos se realizan al inicio de cada período. Su valor es:
$$
V_0^{\text{pre}} = V_0^{\text{post}} \cdot (1+r)
$$
$$
V_n^{\text{pre}} = V_n^{\text{post}} \cdot (1+r)
$$
Cada pago genera intereses durante un período adicional.
Despeje de la cuota
Dado un valor actual $V_0$ (por ejemplo, el importe de un préstamo), la cuota periódica es:
$$
a = V_0 \cdot \frac{r}{1 - (1+r)^{-n}}
$$
Esta fórmula es la base del cálculo de cuotas de préstamos (ver préstamos y amortización).
Queremos acumular 20.000 € en 10 años al 4% anual. ¿Cuánto hay que ahorrar al año?
$$
a = 20000 \cdot \frac{0{,}04}{(1{,}04)^{10} - 1} = 20000 \cdot \frac{0{,}04}{1{,}4802 - 1} = 20000 \cdot \frac{0{,}04}{0{,}4802} \approx 1664{,}58 \text{ €/año}
$$
Renta perpetua
Una renta que dura indefinidamente ($n \to \infty$):
$$
V_0 = \frac{a}{r}
$$
Aplicación: valoración de acciones con dividendos constantes.
Resumen de fórmulas
| Valor actual $V_0$ | Valor final $V_n$ | |
|---|---|---|
| Postpagable | $a \cdot \dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r}$ | $a \cdot \dfrac{(1+r)^n - 1}{r}$ |
| Prepagable | $V_0^{\text{post}} \cdot (1+r)$ | $V_n^{\text{post}} \cdot (1+r)$ |
| Perpetua | $a/r$ | — |