Interés Compuesto y Capitalización

Interés Compuesto

En el interés compuesto, los intereses generados en cada período se añaden al capital y generan nuevos intereses en los períodos siguientes. El capital crece de forma exponencial.

Fórmula principal

$$ C_n = C_0 \cdot (1 + r)^n $$

Donde:

$C_n$ = capital final tras $n$ períodos
$C_0$ = capital inicial
$r$ = tipo de interés por período (en tanto por uno)
$n$ = número de períodos

Invertimos 2.000 € al 5% anual durante 4 años

$$ C_4 = 2000 \cdot (1 + 0{,}05)^4 = 2000 \cdot 1{,}2155 = 2431{,}01 \text{ €} $$

Con interés simple habría sido: $2000 \cdot (1 + 0{,}05 \cdot 4) = 2400$ €

Despejes

Capital inicial (valor actual o descuento compuesto)

$$ C_0 = \frac{C_n}{(1+r)^n} = C_n \cdot (1+r)^{-n} $$

Tipo de interés

$$ r = \left(\frac{C_n}{C_0}\right)^{1/n} - 1 $$

Tiempo

$$ n = \frac{\log(C_n/C_0)}{\log(1+r)} $$

Capitalización con diferentes períodos

Cuando la capitalización es $m$ veces al año con tasa nominal $r_{\text{nom}}$:

$$ C_n = C_0 \cdot \left(1 + \frac{r_{\text{nom}}}{m}\right)^{m \cdot n} $$

Tipo	$m$
Anual	1
Semestral	2
Trimestral	4
Mensual	12
Diaria	365

3.000 € al 6% nominal anual capitalización mensual, 2 años

$$ C = 3000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 2} = 3000 \cdot (1{,}005)^{24} \approx 3000 \cdot 1{,}1272 = 3381{,}60 \text{ €} $$

Tasa Anual Equivalente (TAE)

La TAE permite comparar productos con distintas capitalizaciones convirtiéndolos a una tasa anual equivalente:

$$ \text{TAE} = \left(1 + \frac{r_{\text{nom}}}{m}\right)^m - 1 $$

Tasa nominal 12% mensual → TAE

$$ \text{TAE} = (1 + 0{,}01)^{12} - 1 = 1{,}1268 - 1 = 12{,}68\% $$

La TAE siempre es mayor o igual que la tasa nominal (iguales solo si $m = 1$).

Equivalencia de capitales

Dos capitales son equivalentes si tienen el mismo valor actual con el mismo tipo de interés:

$$ C_0 = \frac{C_n}{(1+r)^n} $$

Esta es la base para actualizar pagos futuros al momento presente.

Regla del 72

Regla práctica para estimar el tiempo en que un capital se duplica:

$$ n \approx \frac{72}{r_{\%}} $$

Al 6% anual, ¿en cuántos años se duplica?

$$ n \approx 72/6 = 12 \text{ años} $$