Préstamos y Amortización
Un préstamo es una cantidad de dinero recibida hoy que se devuelve en pagos periódicos (cuotas) incluyendo capital e intereses. El proceso de devolución se llama amortización.
Sistema francés (cuota constante)
El método más habitual en hipotecas y préstamos personales. La cuota total es constante en todos los períodos.
Fórmula de la cuota
$$
a = C_0 \cdot \frac{r}{1 - (1+r)^{-n}}
$$
Donde:
- $a$ = cuota constante por período
- $C_0$ = capital prestado
- $r$ = tipo de interés por período
- $n$ = número de períodos
Préstamo de 10.000 € a 3 años al 6% anual
$$
a = 10000 \cdot \frac{0{,}06}{1-(1{,}06)^{-3}} = 10000 \cdot \frac{0{,}06}{1 - 0{,}8396} = 10000 \cdot \frac{0{,}06}{0{,}1604} \approx 3741{,}10 \text{ €/año}
$$
Tabla de amortización
Cada cuota se divide en:
- Intereses ($I_k$): intereses sobre el capital pendiente al inicio del período
- Capital amortizado ($A_k$): parte que reduce la deuda
$$
I_k = C_{k-1} \cdot r
$$
$$
A_k = a - I_k
$$
$$
C_k = C_{k-1} - A_k
$$
Tabla para el ejemplo anterior (10.000 € al 6%, 3 años)
| Año | Cuota ($a$) | Intereses ($I_k$) | Amortizado ($A_k$) | Capital pendiente ($C_k$) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | 10.000,00 |
| 1 | 3.741,10 | 600,00 | 3.141,10 | 6.858,90 |
| 2 | 3.741,10 | 411,53 | 3.329,57 | 3.529,33 |
| 3 | 3.741,10 | 211,76 | 3.529,34 | 0,00 |
Observaciones:
- Los intereses disminuyen progresivamente
- La parte amortizada aumenta progresivamente
- La suma de todos los amortizados = capital inicial
Capital pendiente en cualquier momento
Para conocer el capital pendiente después del pago $k$:
$$
C_k = C_0 \cdot (1+r)^k - a \cdot \frac{(1+r)^k - 1}{r}
$$
O equivalentemente:
$$
C_k = a \cdot \frac{1 - (1+r)^{-(n-k)}}{r}
$$
Cuadro resumen del préstamo
| Concepto | Fórmula |
|---|---|
| Total pagado | $a \cdot n$ |
| Total intereses | $a \cdot n - C_0$ |
| Capital amortizado en período $k$ | $A_k = A_1 \cdot (1+r)^{k-1}$ |
Préstamo con carencia
En el período de carencia, solo se pagan intereses y no se amortiza capital:
$$
I_{\text{carencia}} = C_0 \cdot r \quad \text{(cada período)}
$$
El capital sigue siendo $C_0$ al terminar la carencia.
Cambio de condiciones: amortización anticipada
Si se amortiza anticipadamente una cantidad $X$ en el período $k$, hay dos opciones: 1. Reducir la cuota: el plazo sigue igual, baja la cuota 2. Reducir el plazo: la cuota sigue igual, se termina antes