Combinatoria
La combinatoria estudia las formas de seleccionar y ordenar objetos de un conjunto. Es la base del cálculo de probabilidades.
El factorial
El factorial de $n$ es el producto de todos los enteros positivos hasta $n$:
$$
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1
$$
$$
0! = 1 \quad \text{(por definición)}
$$
Ejemplos
$$
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6
$$
$$
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
$$
$$
4! = 24, \quad 6! = 720
$$
Permutaciones
Las permutaciones de $n$ elementos son las formas de ordenar todos esos elementos. El orden importa.
$$
P_n = n!
$$
Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras A, B, C?
$$
P_3 = 3! = 6
$$
Las 6 formas son: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Permutaciones con repetición
Si hay elementos repetidos (por ejemplo $n_1$ iguales, $n_2$ iguales, ...):
$$
P_n^{n_1, n_2, \ldots} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots}
$$
Ejemplo: ¿Cuántos anagramas tiene "PAPA"?
P, A, P, A → 2 P's y 2 A's
$$
\frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6
$$
Variaciones
Las variaciones de $n$ elementos tomados de $r$ en $r$ son los grupos ordenados de $r$ elementos elegidos entre $n$ ($r \leq n$).
$$
V_n^r = \frac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)
$$
Ejemplo: ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con {1,2,3,4,5}?
$$
V_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60
$$
Variaciones con repetición
Si se puede repetir el mismo elemento:
$$
VR_n^r = n^r
$$
Ejemplo: Palabras de 3 letras del alfabeto (27 letras), con repetición
$$
VR_{27}^3 = 27^3 = 19683
$$
Combinaciones
Las combinaciones de $n$ elementos tomados de $r$ en $r$ son los grupos sin orden de $r$ elementos elegidos entre $n$.
$$
C_n^r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
$$
Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 personas de un grupo de 5?
$$
\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10
$$
Ejemplo: ¿Cuántas manos de 5 cartas se pueden repartir de una baraja de 52?
$$
\binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = 2\,598\,960
$$
Propiedades del número combinatorio
$$
\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1
$$
$$
\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}
$$
$$
\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}
$$
Comparativa resumen
| ¿Importa el orden? | ¿Hay repetición? | Fórmula | |
|---|---|---|---|
| Permutaciones | Sí | No | $n!$ |
| Variaciones | Sí | No | $n!/(n-r)!$ |
| Variaciones con rep. | Sí | Sí | $n^r$ |
| Combinaciones | No | No | $n!/[r!(n-r)!]$ |