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Combinatoria
La combinatoria estudia las formas de seleccionar y ordenar objetos de un conjunto. Es la base del cálculo de probabilidades.
El factorial
El factorial de \(n\) es el producto de todos los enteros positivos hasta \(n\):
\[n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1\]
\[0! = 1 \quad \text{(por definición)}\]
Ejemplos
\[3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\]
>
\[5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\]
>
\[4! = 24, \quad 6! = 720\]
Permutaciones
Las permutaciones de \(n\) elementos son las formas de ordenar todos esos elementos. El orden importa.
\[P_n = n!\]
Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras A, B, C?
\[P_3 = 3! = 6\]
> Las 6 formas son: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Permutaciones con repetición
Si hay elementos repetidos (por ejemplo \(n_1\) iguales, \(n_2\) iguales, ...):
\[P_n^{n_1, n_2, \ldots} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots}\]
Ejemplo: ¿Cuántos anagramas tiene "PAPA"?
P, A, P, A → 2 P's y 2 A's
\[\frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6\]
Variaciones
Las variaciones de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\) son los grupos ordenados de \(r\) elementos elegidos entre \(n\) (\(r \leq n\)).
\[V_n^r = \frac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\]
Ejemplo: ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con {1,2,3,4,5}?
\[V_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60\]
Variaciones con repetición
Si se puede repetir el mismo elemento:
\[VR_n^r = n^r\]
Ejemplo: Palabras de 3 letras del alfabeto (27 letras), con repetición
\[VR_{27}^3 = 27^3 = 19683\]
Combinaciones
Las combinaciones de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\) son los grupos sin orden de \(r\) elementos elegidos entre \(n\).
\[C_n^r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]
Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 personas de un grupo de 5?
\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10\]
Ejemplo: ¿Cuántas manos de 5 cartas se pueden repartir de una baraja de 52?
\[\binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = 2\,598\,960\]
Propiedades del número combinatorio
\[\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\]
\[\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\]
\[\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}\]
Comparativa resumen
| ¿Importa el orden? | ¿Hay repetición? | Fórmula | |
|---|---|---|---|
| Permutaciones | Sí | No | \(n!\) |
| Variaciones | Sí | No | \(n!/(n-r)!\) |
| Variaciones con rep. | Sí | Sí | \(n^r\) |
| Combinaciones | No | No | \(n!/[r!(n-r)!]\) |