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Diagramas de Probabilidad
Existen dos herramientas principales para representar y calcular probabilidades de sucesos compuestos:
Diagrama de árbol (árbol de probabilidad)
El diagrama de árbol representa de forma visual los resultados de un experimento aleatorio en varias etapas.
Reglas del diagrama de árbol:
- Cada rama representa un suceso posible en una etapa
- Las probabilidades en ramas del mismo nodo suman 1
- La probabilidad de un camino completo = producto de las probabilidades de sus ramas
- La probabilidad de un suceso final = suma de todos los caminos que lo producen
Ejemplo: Extraer 2 bolas de una bolsa con 3 rojas (R) y 2 azules (A), sin reposición
Primera extracción → Segunda extracción → Probabilidad del camino
- R (3/5) → R (2/4) = 6/20
- R (3/5) → A (2/4) = 6/20
- A (2/5) → R (3/4) = 6/20
- A (2/5) → A (1/4) = 2/20
\[P(\text{2 rojas}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\]
>
\[P(\text{1 roja}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\]
Con y sin reposición
| Con reposición | Sin reposición | |
|---|---|---|
| Probabilidad 2.ª extracción | No cambia | Cambia (denominador -1) |
| Sucesos | Independientes | Dependientes |
Tablas de contingencia
Una tabla de contingencia (o tabla de doble entrada) cruza dos variables cualitativas para mostrar frecuencias conjuntas.
Ejemplo: 200 estudiantes clasificados por género y si aprueban
| Aprueba | Suspende | Total | |
|---|---|---|---|
| Chico | 60 | 40 | 100 |
| Chica | 70 | 30 | 100 |
| Total | 130 | 70 | 200 |
- \(P(\text{Aprueba}) = 130/200 = 0{,}65\)
- \(P(\text{Chica}) = 100/200 = 0{,}50\)
- \(P(\text{Aprueba y Chica}) = 70/200 = 0{,}35\)
- \(P(\text{Aprueba} | \text{Chica}) = 70/100 = 0{,}70\)
- \(P(\text{Aprueba} | \text{Chico}) = 60/100 = 0{,}60\)
¿Son independientes "aprobar" y "ser chica"?
\[P(A) \cdot P(C) = 0{,}65 \cdot 0{,}50 = 0{,}325 \neq 0{,}35 = P(A \cap C)\]
No son independientes.
Relación con el Teorema de Bayes
El árbol y la tabla de contingencia permiten aplicar el Teorema de Bayes para invertir probabilidades condicionadas:
\[P(B_i | A) = \frac{P(A | B_i) \cdot P(B_i)}{\sum_j P(A | B_j) \cdot P(B_j)}\]
Aplicación:
Dado que una pieza es defectuosa, ¿de qué máquina viene?
El árbol muestra las probabilidades "hacia adelante"; Bayes invierte la pregunta.
¿Cuándo usar cada herramienta?
| Situación | Herramienta recomendada |
|---|---|
| Experimento en etapas sucesivas | Diagrama de árbol |
| Dos variables cualitativas cruzadas | Tabla de contingencia |
| Probabilidades condicionadas inversas | Ambas + Bayes |