Diagramas de Probabilidad

Existen dos herramientas principales para representar y calcular probabilidades de sucesos compuestos:

Diagrama de árbol (árbol de probabilidad)

El diagrama de árbol representa de forma visual los resultados de un experimento aleatorio en varias etapas.

Reglas del diagrama de árbol: 1. Cada rama representa un suceso posible en una etapa 2. Las probabilidades en ramas del mismo nodo suman 1 3. La probabilidad de un camino completo = producto de las probabilidades de sus ramas 4. La probabilidad de un suceso final = suma de todos los caminos que lo producen

Ejemplo: Extraer 2 bolas de una bolsa con 3 rojas (R) y 2 azules (A), sin reposición

Primera extracción → Segunda extracción → Probabilidad del camino

  • R (3/5) → R (2/4) = 6/20
  • R (3/5) → A (2/4) = 6/20
  • A (2/5) → R (3/4) = 6/20
  • A (2/5) → A (1/4) = 2/20
$$ P(\text{2 rojas}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $$
$$ P(\text{1 roja}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} $$

Con y sin reposición

Con reposiciónSin reposición
Probabilidad 2.ª extracciónNo cambiaCambia (denominador -1)
SucesosIndependientesDependientes

Tablas de contingencia

Una tabla de contingencia (o tabla de doble entrada) cruza dos variables cualitativas para mostrar frecuencias conjuntas.

Ejemplo: 200 estudiantes clasificados por género y si aprueban
ApruebaSuspendeTotal
Chico6040100
Chica7030100
Total13070200

Probabilidades que se pueden calcular:

  • $P(\text{Aprueba}) = 130/200 = 0{,}65$
  • $P(\text{Chica}) = 100/200 = 0{,}50$
  • $P(\text{Aprueba y Chica}) = 70/200 = 0{,}35$
  • $P(\text{Aprueba} | \text{Chica}) = 70/100 = 0{,}70$
  • $P(\text{Aprueba} | \text{Chico}) = 60/100 = 0{,}60$

¿Son independientes "aprobar" y "ser chica"?

$$ P(A) \cdot P(C) = 0{,}65 \cdot 0{,}50 = 0{,}325 \neq 0{,}35 = P(A \cap C) $$

No son independientes.

Relación con el Teorema de Bayes

El árbol y la tabla de contingencia permiten aplicar el Teorema de Bayes para invertir probabilidades condicionadas:

$$ P(B_i | A) = \frac{P(A | B_i) \cdot P(B_i)}{\sum_j P(A | B_j) \cdot P(B_j)} $$
Aplicación:

Dado que una pieza es defectuosa, ¿de qué máquina viene? El árbol muestra las probabilidades "hacia adelante"; Bayes invierte la pregunta.

¿Cuándo usar cada herramienta?

SituaciónHerramienta recomendada
Experimento en etapas sucesivasDiagrama de árbol
Dos variables cualitativas cruzadasTabla de contingencia
Probabilidades condicionadas inversasAmbas + Bayes

1. En un diagrama de árbol, la probabilidad de un camino completo se calcula: (1 puntos)

2. En una bolsa con 4 rojas y 6 azules, extraemos 2 sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 rojas? (1 puntos)

3. En una tabla de contingencia con 300 personas, 180 son hombres y 120 aprobaron un test. Si 80 hombres aprobaron, ¿cuál es $P(\text{aprobó}|\text{hombre})$? (1 puntos)