Distribución Binomial

La distribución binomial es un modelo probabilístico que describe el número de éxitos en una serie de ensayos independientes con dos posibles resultados (éxito o fracaso).

Características de la Distribución Binomial

Una variable aleatoria X sigue una distribución binomial, representada como X ~ B(n, p), cuando:

• Se realizan un número fijo de ensayos (n)
• Cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso
• La probabilidad de éxito (p) es constante en todos los ensayos
• Los ensayos son independientes entre sí
• La variable X mide el número de éxitos obtenidos en los n ensayos

Fórmula de la Distribución Binomial

La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos viene dada por:

\(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)

Donde:

• \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) es el coeficiente binomial (número de combinaciones de n elementos tomados de k en k)
• p es la probabilidad de éxito en cada ensayo
• 1-p es la probabilidad de fracaso en cada ensayo

Ejemplos de Distribución Binomial

Ejemplo 1: Al lanzar una moneda equilibrada 5 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras? Solución:

Aquí, n = 5 (número de lanzamientos), k = 3 (número de caras), p = 0,5 (probabilidad de cara)

\(P(X = 3) = \binom{5}{3} (0,5)^3 (0,5)^2 = 10 \cdot 0,125 \cdot 0,25 = 0,3125\)

Ejemplo 2: Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de 0,7 de encestar un tiro libre. Si lanza 4 tiros libres, ¿cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 2? Solución:

Aquí, n = 4 (número de tiros), k = 2 (tiros encestados), p = 0,7 (probabilidad de éxito)

\(P(X = 2) = \binom{4}{2} (0,7)^2 (0,3)^2 = 6 \cdot 0,49 \cdot 0,09 = 0,2646\)

Observación: Para valores grandes de n, los cálculos se vuelven complejos. En estos casos es recomendable usar calculadoras científicas, hojas de cálculo o tablas estadísticas.

Valor Esperado y Varianza

En una distribución binomial B(n, p):

Valor esperado (media):

\(\mu = E(X) = n \cdot p\)

Varianza:

\(\sigma^2 = Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\)

Desviación estándar:

\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\)

Función de Distribución

La función de distribución acumulada F(k) nos da la probabilidad de obtener a lo sumo k éxitos:

\(F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}\)

Ejemplos de Aplicación

La distribución binomial se aplica en muchos contextos:

• Control de calidad: Probabilidad de encontrar un número específico de productos defectuosos
• Medicina: Eficacia de tratamientos médicos
• Encuestas: Estimación de proporciones en una población
• Juegos de azar: Probabilidades en juegos con resultados binarios
• Genética: Transmisión de características hereditarias

Aproximación a la Normal

Cuando n es grande (generalmente n > 30) y p no está muy cerca de 0 o 1 (específicamente, cuando np > 5 y n(1-p) > 5), la distribución binomial puede aproximarse mediante una distribución normal con:

• Media: μ = np
• Desviación estándar: σ = √(np(1-p))

Consejos para resolver problemas de distribución binomial

• Identifica claramente n (número de ensayos) y p (probabilidad de éxito).

• Determina qué probabilidad necesitas calcular: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k).

• Para P(X ≥ k), recuerda que P(X ≥ k) = 1 - P(X < k) = 1 - P(X ≤ k-1).

• Utiliza la fórmula de la distribución binomial o la calculadora cuando sea apropiado.

• Para valores grandes de n, considera la aproximación normal si es aplicable.

Relación con experimentos de Bernoulli

La distribución binomial está estrechamente relacionada con los experimentos de Bernoulli:

• Un experimento de Bernoulli es un ensayo con dos posibles resultados: éxito (probabilidad p) o fracaso (probabilidad q = 1-p)
• Una variable binomial X ~ B(n, p) representa el número de éxitos en n experimentos de Bernoulli independientes
• Cada ensayo individual en una distribución binomial sigue una distribución de Bernoulli

Esta conexión nos permite construir la distribución binomial como la suma de n variables aleatorias de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas.