Probabilidad Condicionada
La probabilidad condicionada de $A$ dado $B$ es la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ha ocurrido $B$:
$$
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0
$$
Ejemplo: En una clase de 30 alumnos: 15 son chicas, 8 chicas sacan notable, 10 chicos sacan notable. ¿Probabilidad de sacar notable dado que es chica?
$$
P(\text{notable} | \text{chica}) = \frac{8/30}{15/30} = \frac{8}{15} \approx 0{,}533
$$
Regla del producto
De la fórmula de la probabilidad condicionada se obtiene:
$$
P(A \cap B) = P(A | B) \cdot P(B) = P(B | A) \cdot P(A)
$$
Para tres sucesos:
$$
P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)
$$
Sucesos independientes
Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si la ocurrencia de uno no afecta al otro:
$$
A \perp B \iff P(A | B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
$$
Ejemplo: Lanzar una moneda dos veces
$P(\text{cara en el 2.º}) = 1/2$, independientemente del 1.º lanzamiento.
$$
P(\text{cara, cara}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
$$
Atención: Independiente ≠ incompatible
- Incompatibles: No pueden ocurrir a la vez ($A \cap B = \emptyset$)
- Independientes: La ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro
Probabilidad Total
Sea $\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}$ una partición del espacio muestral (exhaustivos y mutuamente excluyentes):
$$
P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i) \cdot P(B_i)
$$
Ejemplo: Una fábrica tiene 3 máquinas A, B, C que producen el 50%, 30% y 20% respectivamente. Porcentajes de defectos: 2%, 3%, 5%. ¿Probabilidad de pieza defectuosa?
$$
P(D) = 0{,}02 \cdot 0{,}50 + 0{,}03 \cdot 0{,}30 + 0{,}05 \cdot 0{,}20
$$
$$
P(D) = 0{,}010 + 0{,}009 + 0{,}010 = 0{,}029 = 2{,}9\%
$$
Propiedades importantes
$$
P(A | B) + P(\overline{A} | B) = 1
$$
$$
P(A | B) \neq P(B | A) \text{ en general}
$$
Paradoja:
P(enfermo | test positivo) ≠ P(test positivo | enfermo) ¡Esta confusión se llama la falacia del fiscal!