Teoría Ejercicios

Probabilidad Condicionada

La probabilidad condicionada de \(A\) dado \(B\) es la probabilidad de que ocurra \(A\) sabiendo que ya ha ocurrido \(B\):

\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0\]
Ejemplo: En una clase de 30 alumnos: 15 son chicas, 8 chicas sacan notable, 10 chicos sacan notable. ¿Probabilidad de sacar notable dado que es chica?
\[P(\text{notable} | \text{chica}) = \frac{8/30}{15/30} = \frac{8}{15} \approx 0{,}533\]

Regla del producto

De la fórmula de la probabilidad condicionada se obtiene:

\[P(A \cap B) = P(A | B) \cdot P(B) = P(B | A) \cdot P(A)\]

Para tres sucesos:

\[P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)\]

Sucesos independientes

Dos sucesos \(A\) y \(B\) son independientes si la ocurrencia de uno no afecta al otro:

\[A \perp B \iff P(A | B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
Ejemplo: Lanzar una moneda dos veces

\(P(\text{cara en el 2.º}) = 1/2\), independientemente del 1.º lanzamiento.

\[P(\text{cara, cara}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]

Atención: Independiente ≠ incompatible

  • Incompatibles: No pueden ocurrir a la vez (\(A \cap B = \emptyset\))
  • Independientes: La ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro

Probabilidad Total

Sea \(\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\) una partición del espacio muestral (exhaustivos y mutuamente excluyentes):

\[P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i) \cdot P(B_i)\]
Ejemplo: Una fábrica tiene 3 máquinas A, B, C que producen el 50%, 30% y 20% respectivamente. Porcentajes de defectos: 2%, 3%, 5%. ¿Probabilidad de pieza defectuosa?
\[P(D) = 0{,}02 \cdot 0{,}50 + 0{,}03 \cdot 0{,}30 + 0{,}05 \cdot 0{,}20\]

>

\[P(D) = 0{,}010 + 0{,}009 + 0{,}010 = 0{,}029 = 2{,}9\%\]

Propiedades importantes

\[P(A | B) + P(\overline{A} | B) = 1\]
\[P(A | B) \neq P(B | A) \text{ en general}\]
Paradoja:

P(enfermo | test positivo) ≠ P(test positivo | enfermo)
¡Esta confusión se llama la falacia del fiscal!