Probabilidad Condicionada

La probabilidad condicionada nos permite calcular la probabilidad de un suceso teniendo en cuenta que ya ha ocurrido otro suceso. Se representa como P(B|A) y se lee "probabilidad de B condicionado a A" o "probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A".

Su fórmula es:

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Donde:

• P(B|A) es la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A
• P(A∩B) es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos A y B
• P(A) es la probabilidad de que ocurra el suceso A

Es importante recordar que P(A) debe ser mayor que 0, ya que no podemos condicionar a un suceso imposible.

Sucesos dependientes e independientes

• Sucesos independientes: Cuando la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. En este caso: P(B|A) = P(B)
• Sucesos dependientes: Cuando la ocurrencia de uno afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. En este caso: P(B|A) ≠ P(B)

Para calcular la probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B:

• Si son independientes: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
• Si son dependientes: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Ejemplo 1: En una clase hay 20 estudiantes, 12 chicos y 8 chicas. Si seleccionamos a dos estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean chicas?

Solución:

$P(\text{1ª chica})=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=0,4$
$P(\text{2ª chica | 1ª chica})=\frac{7}{19}\approx 0,368$
$P(\text{dos chicas})=P(\text{1ª chica})\cdot P(\text{2ª chica | 1ª chica})=\frac{2}{5}\cdot \frac{7}{19}=\frac{14}{95}\approx 0,147$

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes, formulado por Thomas Bayes en el siglo XVIII, nos permite calcular probabilidades "a posteriori" (después de conocer nueva información) a partir de probabilidades "a priori" (antes de conocer la información).

La fórmula del teorema de Bayes es:

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$

También puede expresarse de forma más completa cuando B puede ocurrir junto con varios sucesos A₁, A₂, ..., Aₙ que son mutuamente excluyentes y cuya unión es el espacio muestral completo:

$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(B|A_j)\cdot P(A_j)}$

Interpretación del teorema de Bayes

El teorema de Bayes nos permite "invertir" las condiciones: si conocemos P(B|A), podemos calcular P(A|B). Es especialmente útil cuando:

• A representa una hipótesis o causa que queremos evaluar
• B representa una evidencia o dato observado
• P(A) es la probabilidad "a priori" de la hipótesis
• P(A|B) es la probabilidad "a posteriori" de la hipótesis tras observar la evidencia

Ejemplo 2: Una prueba diagnóstica para una enfermedad tiene una sensibilidad del 95% (detecta correctamente al 95% de los enfermos) y una especificidad del 90% (da resultado negativo al 90% de los sanos). Si la prevalencia de la enfermedad en la población es del 1%, ¿cuál es la probabilidad de que una persona con resultado positivo tenga realmente la enfermedad?

Solución:

Aplicamos el teorema de Bayes:
E: tener la enfermedad
+: resultado positivo
$P(E|+)=\frac{P(+|E)\cdot P(E)}{P(+)}=\frac{P(+|E)\cdot P(E)}{P(+|E)\cdot P(E)+P(+|\bar{E})\cdot P(\bar{E})}$
$P(E|+)=\frac{0,95\cdot 0,01}{0,95\cdot 0,01+0,1\cdot 0,99}=\frac{0,0095}{0,0095+0,099}=\frac{0,0095}{0,1085}\approx 0,0875$
Por tanto, la probabilidad de que una persona con resultado positivo tenga la enfermedad es de aproximadamente un 8,75%.

Diagrama de árbol para el teorema de Bayes

Los diagramas de árbol son muy útiles para visualizar y resolver problemas con el teorema de Bayes. Permiten organizar la información de manera clara y facilitan el cálculo de las probabilidades.

Consejos para resolver problemas de probabilidad condicionada

1. Identifica claramente los sucesos y sus probabilidades dadas.
2. Distingue entre probabilidades absolutas P(A) y probabilidades condicionadas P(A|B).
3. Usa diagramas de árbol para organizar la información en problemas complejos.
4. Aplica la fórmula de Bayes cuando necesites "invertir" la condición.
5. Recuerda la fórmula de la probabilidad del suceso contrario: P(Ā) = 1 - P(A).
6. Verifica que tus resultados son coherentes (probabilidades entre 0 y 1).

Aplicaciones del teorema de Bayes

El teorema de Bayes tiene numerosas aplicaciones prácticas:

• Medicina: Interpretar resultados de pruebas diagnósticas
• Justicia: Evaluar evidencias en casos judiciales
• Tecnología: Filtros de spam, sistemas de recomendación
• Genética: Estudios de herencia y riesgo genético
• Economía: Toma de decisiones basada en datos