Probabilidad Condicionada

La probabilidad condicionada nos permite calcular la probabilidad de un suceso teniendo en cuenta que ya ha ocurrido otro suceso. Se representa como P(B|A) y se lee "probabilidad de B condicionado a A" o "probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A".

Su fórmula es:

\(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

Donde:

• P(B|A) es la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A
• P(A∩B) es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos A y B
• P(A) es la probabilidad de que ocurra el suceso A

Es importante recordar que P(A) debe ser mayor que 0, ya que no podemos condicionar a un suceso imposible.

Sucesos dependientes e independientes

• Sucesos independientes: Cuando la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. En este caso: P(B|A) = P(B)
• Sucesos dependientes: Cuando la ocurrencia de uno afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. En este caso: P(B|A) ≠ P(B)

Para calcular la probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B:

• Si son independientes: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
• Si son dependientes: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\)

Ejemplo 1: En una clase hay 20 estudiantes, 12 chicos y 8 chicas. Si seleccionamos a dos estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean chicas? Solución: \(P( \text{1ª chica}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4\)

\(P( \text{2ª chica | 1ª chica}) = \frac{7}{19} \approx 0,368\)

\(P( \text{dos chicas}) = P( \text{1ª chica}) \cdot P( \text{2ª chica | 1ª chica}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{19} = \frac{14}{95} \approx 0,147\)

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes, formulado por Thomas Bayes en el siglo XVIII, nos permite calcular probabilidades "a posteriori" (después de conocer nueva información) a partir de probabilidades "a priori" (antes de conocer la información).

La fórmula del teorema de Bayes es:

\(P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\)

También puede expresarse de forma más completa cuando B puede ocurrir junto con varios sucesos A₁, A₂, ..., Aₙ que son mutuamente excluyentes y cuya unión es el espacio muestral completo:

\(P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B|A_j) \cdot P(A_j)}\)

Interpretación del teorema de Bayes

El teorema de Bayes nos permite "invertir" las condiciones: si conocemos P(B|A), podemos calcular P(A|B). Es especialmente útil cuando:

• A representa una hipótesis o causa que queremos evaluar
• B representa una evidencia o dato observado
• P(A) es la probabilidad "a priori" de la hipótesis
• P(A|B) es la probabilidad "a posteriori" de la hipótesis tras observar la evidencia

Ejemplo 2: Una prueba diagnóstica para una enfermedad tiene una sensibilidad del 95% (detecta correctamente al 95% de los enfermos) y una especificidad del 90% (da resultado negativo al 90% de los sanos). Si la prevalencia de la enfermedad en la población es del 1%, ¿cuál es la probabilidad de que una persona con resultado positivo tenga realmente la enfermedad? Solución: Aplicamos el teorema de Bayes:

E: tener la enfermedad

+: resultado positivo

\(P(E|+) = \frac{P(+|E) \cdot P(E)}{P(+)} = \frac{P(+|E) \cdot P(E)}{P(+|E) \cdot P(E) + P(+|\overline{E}) \cdot P(\overline{E})}\)

\(P(E|+) = \frac{0,95 \cdot 0,01}{0,95 \cdot 0,01 + 0,1 \cdot 0,99} = \frac{0,0095}{0,0095 + 0,099} = \frac{0,0095}{0,1085} \approx 0,0875\)

Por tanto, la probabilidad de que una persona con resultado positivo tenga la enfermedad es de aproximadamente un 8,75%.

Observación: Este resultado puede ser sorprendente: ¡la probabilidad de tener la enfermedad aun con un test positivo es menor del 9%! Este es un ejemplo de la llamada "falacia del fiscal", y demuestra lo importante que es aplicar correctamente las probabilidades condicionadas.

Diagrama de árbol para el teorema de Bayes

Los diagramas de árbol son muy útiles para visualizar y resolver problemas con el teorema de Bayes. Permiten organizar la información de manera clara y facilitan el cálculo de las probabilidades.

Consejos para resolver problemas de probabilidad condicionada

• Identifica claramente los sucesos y sus probabilidades dadas.

• Distingue entre probabilidades absolutas P(A) y probabilidades condicionadas P(A|B).

• Usa diagramas de árbol para organizar la información en problemas complejos.

• Aplica la fórmula de Bayes cuando necesites "invertir" la condición.

• Recuerda la fórmula de la probabilidad del suceso contrario: P(Ā) = 1 - P(A).

• Verifica que tus resultados son coherentes (probabilidades entre 0 y 1).

Aplicaciones del teorema de Bayes

El teorema de Bayes tiene numerosas aplicaciones prácticas:

• Medicina: Interpretar resultados de pruebas diagnósticas
• Justicia: Evaluar evidencias en casos judiciales
• Tecnología: Filtros de spam, sistemas de recomendación
• Genética: Estudios de herencia y riesgo genético
• Economía: Toma de decisiones basada en datos