Probabilidad: Conceptos Fundamentales

La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso cuando realizamos un experimento aleatorio. Se representa con la letra \( P \) y siempre toma valores entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%).

Para entender la probabilidad, debemos conocer algunos conceptos básicos:

• Experimento aleatorio: Aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza (por ejemplo, lanzar un dado).
• Espacio muestral (E): Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
• Suceso: Cualquier subconjunto del espacio muestral.
• Suceso elemental: Cada uno de los resultados individuales del espacio muestral.
• Suceso seguro: Aquel que siempre ocurre. Su probabilidad es 1 (o 100%).
• Suceso imposible: Aquel que nunca puede ocurrir. Su probabilidad es 0.

Teorema o Regla de Laplace

El Teorema de Laplace establece que, en experimentos con sucesos elementales equiprobables (todos con la misma probabilidad de ocurrir), la probabilidad de un suceso A se calcula dividiendo el número de casos favorables entre el número de casos posibles:

\(P(A) = \frac{ \text{Número de casos favorables a }A}{ \text{Número de casos posibles}} = \frac{n(A)}{n(E)}\)

Este teorema, formulado por Pierre-Simon Laplace en el siglo XIX, es la base para el cálculo de probabilidades en situaciones donde todos los resultados son igualmente probables.

Las propiedades fundamentales de la probabilidad son:

• La probabilidad siempre está entre 0 y 1: \(0 \leq P(A) \leq 1\)
• La probabilidad del suceso seguro es 1: \(P(E) = 1\)
• La probabilidad del suceso imposible es 0: \(P(\emptyset) = 0\)
• La probabilidad del suceso contrario: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Si A y B son sucesos incompatibles (no pueden ocurrir simultáneamente): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Ejemplo 1: En el lanzamiento de un dado de seis caras, calcula la probabilidad de obtener un número par. Solución: \( \text{Espacio muestral } E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \text{, con } n(E) = 6\)

\( \text{Suceso A = obtener número par = } \{2, 4, 6\} \text{, con } n(A) = 3\)

\(P(A) = \frac{n(A)}{n(E)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 = 50\%\)

Diagramas para el cálculo de probabilidades

Los diagramas son herramientas visuales muy útiles para organizar la información y calcular probabilidades. Entre ellos, el más utilizado es el diagrama de árbol.

Diagrama de árbol

El diagrama de árbol representa gráficamente todas las posibles secuencias de resultados en experimentos compuestos (formados por varias etapas). Sus características principales son:

• Cada rama representa un posible resultado en cada etapa.
• A cada rama se le asigna su probabilidad correspondiente.
• La probabilidad de un camino completo se calcula multiplicando las probabilidades de todas las ramas que lo forman.
• La probabilidad de un suceso que puede ocurrir por distintos caminos se obtiene sumando las probabilidades de todos esos caminos.

Ejemplo 2: Tenemos una urna con 3 bolas rojas y 2 bolas azules. Extraemos dos bolas de forma consecutiva sin devolverlas a la urna. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolas rojas? Solución: Utilizando un diagrama de árbol:

Primera extracción: P(roja) = 3/5

Segunda extracción (si la primera fue roja): P(roja) = 2/4 = 1/2

\(P( \text{dos rojas}) = P( \text{1ª roja}) \cdot P( \text{2ª roja | 1ª roja}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10} = 0,3 = 30\%\)

Sucesos encadenados y probabilidad condicionada

Cuando realizamos experimentos en varias etapas, necesitamos considerar cómo los resultados de una etapa pueden afectar a las probabilidades en las etapas siguientes.

Sucesos dependientes e independientes

• Sucesos independientes: Cuando la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, al lanzar un dado dos veces, el resultado del segundo lanzamiento no depende del primero.
• Sucesos dependientes: Cuando la ocurrencia de uno afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, al extraer cartas de una baraja sin devolverlas.

Probabilidad condicionada

La probabilidad condicionada de un suceso B dado que ha ocurrido un suceso A se representa como P(B|A) y se lee "probabilidad de B condicionado a A".

\(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

Para calcular la probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B:

• Si son independientes: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
• Si son dependientes: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\)

Ejemplo 3: Una baraja española tiene 40 cartas. Calculamos la probabilidad de sacar dos ases consecutivamente sin devolverlas a la baraja. Solución: \(P( \text{1º as}) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0,1\)

\(P( \text{2º as | 1º as}) = \frac{3}{39} \approx 0,077\)

\(P( \text{dos ases}) = P( \text{1º as}) \cdot P( \text{2º as | 1º as}) = \frac{1}{10} \cdot \frac{3}{39} = \frac{3}{390} = \frac{1}{130} \approx 0,0077\)

Consejos para resolver problemas de probabilidad

• Identifica claramente el experimento aleatorio y su espacio muestral.

• Determina si los sucesos elementales son equiprobables para aplicar Laplace.

• Distingue entre sucesos dependientes e independientes.

• Utiliza diagramas de árbol para experimentos compuestos.

• Comprueba que la suma de probabilidades de todos los posibles resultados es 1.

• En problemas con varias etapas, aplica correctamente la multiplicación de probabilidades (para "y") y la suma (para "o").