La Circunferencia Goniométrica
La circunferencia goniométrica (o circunferencia unitaria) es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen del plano cartesiano. Es la herramienta fundamental para entender las funciones trigonométricas para cualquier ángulo.
Definición
Para un ángulo $\theta$ medido desde el eje positivo de las x en sentido antihorario, el punto $P$ en la circunferencia unitaria tiene coordenadas:
De esta forma, el coseno es la coordenada x y el seno es la coordenada y del punto en la circunferencia.
Los cuatro cuadrantes
La circunferencia se divide en cuatro cuadrantes:
Primer cuadrante (0° a 90°)
Todos los valores son positivos.
Segundo cuadrante (90° a 180°)
Solo el seno es positivo.
Tercer cuadrante (180° a 270°)
Ambos son negativos.
Cuarto cuadrante (270° a 360°)
Solo el coseno es positivo.
Regla mnemotécnica: "ASCT" (por cuadrantes)
- I: All (todos positivos)
- II: Seno positivo
- III: Cotangente y tangente positivas
- IV: Coseno positivo
También se recuerda como "Todos los Santos (son) Cobardes" o "Todos los Sabios Calculan".
Valores en los ejes
| Ángulo | Punto en la circunferencia | $\cos$ | $\sin$ |
|---|---|---|---|
| $0° = 0$ | $(1, 0)$ | $1$ | $0$ |
| $90° = \pi/2$ | $(0, 1)$ | $0$ | $1$ |
| $180° = \pi$ | $(-1, 0)$ | $-1$ | $0$ |
| $270° = 3\pi/2$ | $(0, -1)$ | $0$ | $-1$ |
| $360° = 2\pi$ | $(1, 0)$ | $1$ | $0$ |
Ángulos que comparten el mismo seno o coseno
Ángulos suplementarios ($\alpha$ y $180° - \alpha$)
$$$$
\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}
$$
Ángulos opuestos ($\alpha$ y $-\alpha$)
$$
\sin(-\alpha) = -\sin \alpha
$$
$$
\cos(-\alpha) = \cos \alpha
$$
Ángulos que difieren en $180°$
$$
\sin(\alpha + 180°) = -\sin \alpha
$$
$$
\cos(\alpha + 180°) = -\cos \alpha
$$
Periodicidad
Las funciones trigonométricas son periódicas:
$$
\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta
$$
$$
\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta
$$
$$
\tan(\theta + \pi) = \tan \theta
$$
Esto significa que los valores se repiten cada vuelta completa.
La función tangente en la circunferencia
$$
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
$$
La tangente no está definida cuando $\cos \theta = 0$, es decir en $\theta = 90° + k \cdot 180°$.
1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de la circunferencia unitaria para $\theta = 90°$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 2. ¿En qué cuadrante el seno es negativo y el coseno es positivo?
(1 puntos)
Retroalimentación: 3. ¿Cuánto vale $\sin 150°$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 4. ¿Para qué ángulo NO está definida la tangente?
(1 puntos)
Retroalimentación: 5. Si $\alpha$ está en el tercer cuadrante, ¿cuál de estas afirmaciones es correcta?
(1 puntos)
Retroalimentación:
Ángulos opuestos ($\alpha$ y $-\alpha$)
Ángulos que difieren en $180°$
Periodicidad
Las funciones trigonométricas son periódicas:
Esto significa que los valores se repiten cada vuelta completa.
La función tangente en la circunferencia
La tangente no está definida cuando $\cos \theta = 0$, es decir en $\theta = 90° + k \cdot 180°$.
1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de la circunferencia unitaria para $\theta = 90°$? (1 puntos)
2. ¿En qué cuadrante el seno es negativo y el coseno es positivo? (1 puntos)
3. ¿Cuánto vale $\sin 150°$? (1 puntos)
4. ¿Para qué ángulo NO está definida la tangente? (1 puntos)
5. Si $\alpha$ está en el tercer cuadrante, ¿cuál de estas afirmaciones es correcta? (1 puntos)