Ecuaciones Trigonométricas

Una ecuación trigonométrica contiene una o más funciones trigonométricas de la incógnita. Por la periodicidad de las funciones, suelen tener infinitas soluciones en general, o un número finito en un intervalo dado.

Ecuaciones básicas con seno

$$ \sin x = k \quad (-1 \leq k \leq 1) $$

Solución general:

$$ x = \arcsin(k) + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \pi - \arcsin(k) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

$\sin x = \frac{1}{2}$ en $[0°, 360°]$

$\arcsin(1/2) = 30°$

Soluciones: $x = 30°$ (primer cuadrante) y $x = 180° - 30° = 150°$ (segundo cuadrante)

Ecuaciones básicas con coseno

$$ \cos x = k \quad (-1 \leq k \leq 1) $$

Solución general:

$$ x = \pm \arccos(k) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ en $[0°, 360°]$

$\arccos(\sqrt{2}/2) = 45°$

Soluciones: $x = 45°$ (primer cuadrante) y $x = 360° - 45° = 315°$ (cuarto cuadrante)

Ecuaciones básicas con tangente

$$ \tan x = k $$

Solución general:

$$ x = \arctan(k) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

$\tan x = 1$ en $[0°, 360°]$

$\arctan(1) = 45°$

Soluciones: $x = 45°$ y $x = 45° + 180° = 225°$

Ecuaciones más elaboradas

Reducción a ecuación básica

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ en $[0°, 360°]$

Sea $t = \sin x$:

$$ 2t^2 - t - 1 = 0 \implies (2t + 1)(t - 1) = 0 $$

$$ t = -\frac{1}{2} \quad \text{o} \quad t = 1 $$

Para $\sin x = -\frac{1}{2}$: $x = 210°$ o $x = 330°$

Para $\sin x = 1$: $x = 90°$

Soluciones: $x = 90°, 210°, 330°$

Usando identidades

$\sin 2x = \sin x$ en $[0°, 360°]$

Sustituimos $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$ 2\sin x \cos x = \sin x $$

$$ 2\sin x \cos x - \sin x = 0 $$

$$ \sin x (2\cos x - 1) = 0 $$

Caso 1: $\sin x = 0 \implies x = 0°$ o $x = 180°$

Caso 2: $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = 60°$ o $x = 300°$

Soluciones: $x = 0°, 60°, 180°, 300°$

Estrategia de resolución

1. Aislar la función trigonométrica o reducir a ecuación conocida 2. Usar identidades si es necesario 3. Aplicar cambio de variable si la ecuación es cuadrática 4. Encontrar el arco principal con $\arcsin$, $\arccos$ o $\arctan$ 5. Usar la simetría de la circunferencia para hallar todas las soluciones en el intervalo pedido