Identidades Trigonométricas
Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores del ángulo (donde están definidas las funciones).
Identidades fundamentales
Relación pitagórica
$$
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$
De ella se derivan:
$$
\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha
$$
$$
\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha
$$
Dividiendo por $\cos^2 \alpha$:
$$
\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha
$$
Definición de tangente y cotangente
$$
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
$$
Razones recíprocas
$$
\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}, \quad \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}
$$
Fórmulas de suma y diferencia de ángulos
Seno
$$
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
$$
Coseno
$$
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta
$$
Tangente
$$
\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}
$$
Calcular $\sin 75°$
$$
\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°
$$
$$
= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
Fórmulas del ángulo doble
Aplicando las fórmulas de suma con $\alpha = \beta$:
Seno del ángulo doble
$$
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
$$
Coseno del ángulo doble
$$
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1
$$
Tangente del ángulo doble
$$
\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}
$$
Calcular $\sin 60°$ usando $\sin 2 \cdot 30°$
$$
\sin 60° = \sin(2 \cdot 30°) = 2\sin 30° \cos 30° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
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Fórmulas del ángulo mitad
$$
\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}
$$
$$
\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}
$$
Simplificación de expresiones
Las identidades sirven para simplificar expresiones trigonométricas complejas:
Simplificar $\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha}$
$$
\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha} = 1 + \cos \alpha
$$
Demostrar que $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$
$$
\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha
$$
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