Radianes
El radián es la unidad de medida natural para los ángulos en matemáticas avanzadas. Se define a partir de la circunferencia unitaria.
Definición
Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo arco en la circunferencia unitaria tiene longitud 1.
En general, si el radio es $r$ y el arco es $l$:
$$
\theta \text{ (rad)} = \frac{l}{r}
$$
Relación grados-radianes
Una vuelta completa = $360°$ = $2\pi$ radianes
$$
360° = 2\pi \text{ rad}
$$
$$
180° = \pi \text{ rad} \approx 3{,}1416 \text{ rad}
$$
$$
1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0{,}01745 \text{ rad}
$$
$$
1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}3°
$$
Conversión de ángulos
De grados a radianes
$$
\alpha \text{ (rad)} = \alpha \text{ (°)} \times \frac{\pi}{180}
$$
Convertir $90°$ a radianes
$$
90° \times \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ rad}
$$
De radianes a grados
$$
\alpha \text{ (°)} = \alpha \text{ (rad)} \times \frac{180}{\pi}
$$
Convertir $\frac{\pi}{3}$ a grados
$$
\frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{180}{3} = 60°
$$
Ángulos notables en radianes
| Grados | Radianes |
|---|---|
| $0°$ | $0$ |
| $30°$ | $\dfrac{\pi}{6}$ |
| $45°$ | $\dfrac{\pi}{4}$ |
| $60°$ | $\dfrac{\pi}{3}$ |
| $90°$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $120°$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ |
| $135°$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ |
| $150°$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ |
| $180°$ | $\pi$ |
| $270°$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ |
| $360°$ | $2\pi$ |
Longitud de arco y área de sector
Con el ángulo en radianes, las fórmulas se simplifican:
Longitud de arco
$$
l = r \cdot \theta
$$
Área del sector circular
$$
A = \frac{1}{2} r^2 \theta
$$
Un sector de radio $5$ cm y ángulo $\frac{\pi}{3}$ rad:
Un sector de radio $5$ cm y ángulo $\frac{\pi}{3}$ rad:
$$
l = 5 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \approx 5{,}24 \text{ cm}
$$
$$
A = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{25\pi}{6} \approx 13{,}09 \text{ cm}^2
$$
¿Por qué usar radianes?
En cálculo, las derivadas de seno y coseno son sencillas solo si se usa radianes:
$$
(\sin x)' = \cos x \quad \text{(en radianes)}
$$
Si usáramos grados necesitaríamos factores de $\pi/180$, lo que complica los cálculos.