Razones Trigonométricas
Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Permiten calcular lados y ángulos desconocidos.
El triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo con un ángulo $\alpha$:
- Hipotenusa ($h$): el lado opuesto al ángulo recto (el mayor)
- Cateto opuesto ($a$): el lado opuesto a $\alpha$
- Cateto adyacente ($b$): el lado que forma $\alpha$ junto con la hipotenusa
Las tres razones principales
$$
\sin \alpha = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{a}{h}
$$
$$
\cos \alpha = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{h}
$$
$$
\tan \alpha = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
$$
Truco mnemotécnico: SOH-CAH-TOA
- Seno = Opuesto / Hipotenusa
- Coseno = Adyacente / Hipotenusa
- Tangente = Opuesto / Adyacente
Razones recíprocas
$$
\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}, \quad \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}
$$
Valores notables
| Ángulo | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30°$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $45°$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60°$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90°$ | $1$ | $0$ | no existe |
Truco para recordar los valores
Los valores del seno para $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ siguen el patrón:
$$
\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}
$$
Relación fundamental
$$
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$
Esta identidad se cumple siempre para cualquier ángulo.
Demostración
En un triángulo rectángulo con hipotenusa $h$:
$$
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{h^2} = \frac{a^2 + b^2}{h^2} = \frac{h^2}{h^2} = 1
$$
(por el Teorema de Pitágoras: $a^2 + b^2 = h^2$)
Aplicaciones
Calcular un lado desconocido
En un triángulo rectángulo, $\alpha = 30°$ e hipotenusa $= 10$. Calcular el cateto opuesto.
$$
\sin 30° = \frac{a}{10} \implies a = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
$$
Calcular un ángulo desconocido
Cateto opuesto $= 4$, hipotenusa $= 8$. Calcular $\alpha$.
$$
\sin \alpha = \frac{4}{8} = 0{,}5 \implies \alpha = \arcsin(0{,}5) = 30°
$$
Signos según el cuadrante
En la circunferencia unitaria, los signos varían:
| Cuadrante | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| I ($0°$ a $90°$) | $+$ | $+$ | $+$ |
| II ($90°$ a $180°$) | $+$ | $-$ | $-$ |
| III ($180°$ a $270°$) | $-$ | $-$ | $+$ |
| IV ($270°$ a $360°$) | $-$ | $+$ | $-$ |