Resolución de Triángulos
Resolver un triángulo significa encontrar todos sus lados y ángulos a partir de algunos datos conocidos.
En un triángulo con lados $a, b, c$ y ángulos opuestos $A, B, C$ respectivamente:
$$
A + B + C = 180°
$$
El Teorema del Seno
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita.
Cuándo usarlo
Se aplica cuando conocemos:
- Un lado y dos ángulos (SAA o ASA)
- Dos lados y un ángulo opuesto (SSA — puede haber ambigüedad)
Dados $A = 30°$, $B = 70°$ y $a = 10$. Calcular $b$.
$$
C = 180° - 30° - 70° = 80°
$$
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
$$
$$
\frac{10}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 70°}
$$
$$
b = \frac{10 \cdot \sin 70°}{\sin 30°} = \frac{10 \cdot 0{,}9397}{0{,}5} = 18{,}79
$$
El Teorema del Coseno
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
$$
$$
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B
$$
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
$$
Cuándo usarlo
Se aplica cuando conocemos:
- Tres lados (SSS)
- Dos lados y el ángulo comprendido (SAS)
Dados $b = 5$, $c = 7$ y $A = 60°$. Calcular $a$.
$$
a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°
$$
$$
a^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
$$
$$
a = \sqrt{39} \approx 6{,}24
$$
Nota: Cuando $C = 90°$, $\cos 90° = 0$ y el teorema del coseno se reduce al teorema de Pitágoras.
Área de un triángulo
Fórmula con dos lados y el ángulo comprendido
$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A
$$
$b = 6$, $c = 4$, $A = 30°$
$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 30° = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6
$$
Fórmula de Herón (con los tres lados)
$$
s = \frac{a + b + c}{2} \quad \text{(semiperímetro)}
$$
$$
\text{Área} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
Casos de resolución
| Datos conocidos | Método |
|---|---|
| Tres lados (SSS) | Teorema del coseno → ángulos |
| Dos lados y ángulo comprendido (SAS) | Teorema del coseno → tercer lado; luego seno |
| Un lado y dos ángulos (SAA/ASA) | Tercer ángulo = $180°$ − suma; luego teorema del seno |
| Dos lados y ángulo opuesto (SSA) | Teorema del seno (puede haber 0, 1 o 2 soluciones) |